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Fonction implicite et derivee seconde

Posté par
jazzou12 13-12-17 à 00:28

Bonsoir a tous, je sais qu'il est tard mais je bloque sur la fin d'un exo ....

Mon exercice consiste à travailler sur le theoreme de fonctions implicites, sur la première question je montre que e^{x-y} -1 - x + y =0
Possède une fonction g de classe c1 etc etc au voisinage de 0.

Je dois ensuite calculer g'(0) donc ca ok pas de soucis j'utilise la formule est j'ai 0.

En revanche on me demande de calculer g''(0) et je ne sais pas comment m'y prendre... j'ai demandé de l'aide à mon enseignant qui m'a envoyé la réponse cad :

<font class='rouge'>[\frac{d^2f}{dx^2} (x, g (x)) + \frac{d^2f}{dxdy} (x, g'x)]+[\frac{d^2f}{dxdy} (x, g (x)) + \frac{d^2f}{d^2y} (x, g'x)]</font>g'(x) + \frac{df}{dy} (x, g (x))g''(x)=0

Sauf que j'ai pas d'explication a ce résultat je comprends la partie rouge car je trouves ca logique mais la fin pas du tout....

Merci de votre aideee

Posté par
Synarre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 01:12

Bonjour,
la formule que vous avez ici vient de la dérivation d'une équation de la forme "(d/dy)*g'+d/dx=0",
qui vient du fait que  g'(x)=-\frac{(\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial x})}{(\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial x})},
d'où (\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial x})+(\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial x})g'(x)=0,
d'où l'expression que vous montrez ici par dérivation (c'est juste la dérivée d'une somme, d'un produit, et de composées pour les fonctions à 2 variables).

Posté par
Synarre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 01:18

(Au dénominateur dans la première expression et à droite dans la seconde c'est bien sûr un \frac{\partial }{\partial y}, veuillez m'excuser, il se fait tard)

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 09:11

Ah d'accords merci pour ces explications, je connaisais la formule pour g'(x) mais après on a jmais trop fait de dérives secondes  des longues fonctions donc bon... encore merci sinon et bonne journée

Posté par
etniopalre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 09:59

Soient F : ²      ,  (x,y)     exp(x - y) - 1 - x + y et   = [F = 0] ( la "courbe d'équation F(x,y) = 0 ") .
contient   := { (x,x) │ x }    ( la "première bissectrice ")

   Soit x    . L'application  F(x , .) est  dérivable et sa dérivée est y     - exp(x - y) + 1  = exp(-y).(exp(y) - exp(x)) qui est du signe de y - x .
On en déduit qu'on a   F(x,y) = 0  SSI y = x .
Par suite   =   , graphe de g : x   x  .

Comme  " exercice consistant à travailler sur le théorème des fonctions implicites " , il y a quand même plus coriace .

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 11:18

Je sais etniopal mais la en fait ca relève plutôt d'un soucis de ma part de ne pas bien savoir faire des dérivées secondes autres que des basiques...

Du coup j'ai une question sur ma derivee seconde ? C'est quoi l'ordre de dérivation car j'ai l'impression qu'on fait d'abords l'addition (ce qui est contraire à tous les maths ) et qu'on y colle la multiplication de manière très bizarre...

Parce que quand je dérive la formule donnée ci joint qu'avec l'addition j'ai ca :
[\frac{d^2f}{dx^2} (x,g (x)) + \frac{d^2f}{dxdy} (x,g (x))g'(x)]+[\frac{d^2f}{dxdy} (x,g (x)) + \frac{d^2f}{d^2y} (x,g (x))g'(x)]

Donc il manque que la fin...

Et si je fais en premier la multiplication j'ai ça : [\frac{d^2f}{dxdy} (x,g (x)) g'(x) + \frac{df}{dy} (x,g (x))g'


Du coup là j'ai une partie qui va mais un bout en trop... Je sais pas comment bien aboutir à ce calcul...

Fonction implicite et derivee seconde

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 11:20

Ouh la mon calcul ne s'est pas affiché en entier pour la multiplication je remets donc ici...

[\frac{d^2f}{dxdy} (x,g (x)) g'(x) + \frac{df}{dy} (x,g (x))g'



Et la dernière ligne de mon précédent message C'est le calcul que j'essaie de derivée en fait...

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 11:22

Je suis désolé mon calcul ne veux pas s'afficher du coup je le mets en pièces jointes

Fonction implicite et derivee seconde

Posté par
luzakre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 15:00

Bonjour !
Le mélange des significations pour la lettre x (variable dans g, simple "numéro" pour la notation des dérivées partielles) ne peut que rendre les choses difficiles pour le débutant.

Je te suggère de noter  f(x,y)=0 l'équation initiale (f de classe C^k   sur un ouvert de \R^2 ), g (au cas où elle existe) la fonction implicite associée au point (a,b) de classe C^k sur un intervalle I contenant  a.

En utilisant une lettre autre que x,y pour la variable de g tu écris :

\forall t\in I,\;f(t,g(t))=0 et, en dérivant par rapport à t,

\forall t\in I,\;\dfrac{\partial f}{\partial x}(t,g(t))+g'(t)\,\dfrac{\partial f}{\partial y}(t,g(t))=0

\forall t\in I,\;\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}f(t,g(t))+g'(t)\,\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(t,g(t))+g'(t)\Bigl(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}f(t,g(t))+g'(t)\,\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2 }f(t,g(t))\Bigr)+g''(t)\,\dfrac{\partial f}{\partial y}(t,g(t))=0

La deuxième relation te donne la dérivée g'(a), la deuxième te permet de calculer g''(a), etc...
Cela devient vite démentiel : l'écriture formelle de la dérivée troisième d'une fonction implicite remplit presque une page...

Posté par
carpediemre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 15:52

salut

bon luzak a vendu la mèche ... mais je ne lui en veux pas ... car ... voir plus bas !!

jazzou12 @ 13-12-2017 à 00:28

Bonsoir a tous, je sais qu'il est tard mais je bloque sur la fin d'un exo ....

Mon exercice consiste à travailler sur le theoreme de fonctions implicites, sur la première question je montre que e^{x-y} -1 - x + y =0
Possède une fonction g de classe c1 etc etc au voisinage de 0.

Je dois ensuite calculer g'(0) donc ca ok pas de soucis j'utilise la formule est j'ai 0.

En revanche on me demande de calculer g''(0) et je ne sais pas comment m'y prendre... j'ai demandé de l'aide à mon enseignant qui m'a envoyé la réponse cad :

<font class='rouge'>[\frac{d^2f}{dx^2} (x, g (x)) + \frac{d^2f}{dxdy} (x, g'x)]+[\frac{d^2f}{dxdy} (x, g (x)) + \frac{d^2f}{d^2y} (x, g'x)]</font>g'(x) + \frac{df}{dy} (x, g (x))g''(x)=0

Sauf que j'ai pas d'explication a ce résultat je comprends la partie rouge car je trouves ca logique mais la fin pas du tout....

Merci de votre aideee


ben peut-être qu'il serait bien de comprendre cette première formule pour comprendre cette deuxième formule ...

et luzak a été très pédagogique ...

Posté par
luzakre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 16:25

Bonjour carpediem

Citation :
bon luzak a vendu la mèche ...

Que veux-tu dire ? Il fallait le laisser s'embrouiller dans les x répétés qui ne sont pas toujours des x ?

Puisque j'ai l'occasion de le préciser : je n'ai jamais supporté ces notations (vénérables certes mais peu satisfaisantes pour les débutants) où on utilise les lettres x,y,... pour désigner des numéros de composantes d'une variable vectorielle.

Et quand en plus, les physiciens utilisent la valeur prise par une fonction à la place d'une fonction !
Ce qui donne des trucs comme \dfrac{\partial V}{\partial x}=....\dfrac{\partial V}{\partial \theta} qui deviennent littéralement illisibles...

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 16:42

Bonjour à tous les deux luzak et carpe diem, alors déjà pour te répondre carpediem C'est vrai que déjà je ne comprends pas la formule suivante (Je penses que c'est de celle là dont tu parles Non?)

g'(0)= \frac{-\frac{df}{dx}(0,0)}{\frac{df}{dy}(0,0)}

C'est simple l'enseignant nous a donnée cette formule et nous l'a fait appliquer C'est tout...

Ensuite pour le super message de luzak (merci!!) je vais essayer de refaire mes calculs et les comprendre avant de revenir vers vous

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 16:46

Excusez moi j'ai mis en 0 (car je dois calculer en 0), j'aurais dû mettre la forme générale...

Je voulais préciser que de cette formule j'en tire facilement celle ci (sur ca pas de soucis) :

Fonction implicite et derivee seconde

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 16:47

*Dy pour le dénominateur du second membre

Posté par
carpediemre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 17:18

luzak : as-tu lu la dernière ligne  ?

et je suis évidemment d'accord avec toi : distinguer les variables génériques xou formelle x et y des arguments de la même fonction : dériver f(t, g(t)) = 0 par rapport à x et y ...

et ma question est toute pertinente !!

jazzou12 @ 13-12-2017 à 16:42

alors déjà pour te répondre carpediem C'est vrai que déjà je ne comprends pas la formule suivante (Je penses que c'est de celle là dont tu parles Non?)

g'(0)= \frac{-\frac{df}{dx}(0,0)}{\frac{df}{dy}(0,0)}

C'est simple l'enseignant nous a donnée cette formule et nous l'a fait appliquer C'est tout...


ben pour avoir la dérivée seconde il faut peut-être déjà la dérivée première !!!

et c'est là où je dis que luzak a vendu la mèche ;);) et j'en fais plusieurs parce que c'est de l'humour !!!

et on peut donc répondre à ma question en lisant le msg de luzak

je voulais simplement pointer l'incompréhension grave d'une formule ...toute simple ...

c'est simplement la formule de la dérivée d'une composée ...

f(x, y) = 0 \iff f(x, y(x)) = 0 => \partial f / \partial x (?, y(?)) dx/dx + \partial f / \partial y (?, y(?) dy(x)/dx = 0

et évidemment    dx/dx = 1   et     dy(x)/dx = y'(x)




PS : on peut même pour s'amuser dériver la relation :    f(x(y), y(x)) = 0    en commençant comme le propose luzak par la relation    f(x(s), y(t)) = 0

...

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 17:28

Je suis désolé mais j'y arrive toujours pas à calculer cette derivee seconde... Je trouves toujours des choses en troo ou des choses en moins, aucun de vous deux peut me donner la ligne de calcul a suivre s'il vous plaît... Je suis perdue

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 17:35

Alors en fait on a en premier cette formule : (photo 1)

Qui donne  ensuite cette formule  (photo 2)

Et non l'inverse?

Fonction implicite et derivee seconde

Fonction implicite et derivee seconde

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 17:38

Je souhaitais mettre celle ci en seconde pardon

Fonction implicite et derivee seconde

Posté par
luzakre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 17:51

Bonsoir !
Je t'ai déjà donné le conseil de ne pas mélanger les "x" (numéro d'une composante et le "x" (ta variable).
Reprends la formule écrite avec "t" comme variable et ensuite remplace "t" par 0.

Dans ce que tu viens d'écrire :
Dans chaque ligne, la deuxième dérivée partielle par rapport à "x" doit être une dérivée par rapport à "y" : deuxième composante de ta variable dans \R^2.

L'écriture \dfrac{\partial f(x,g(x))}{\partial x} est à bannir : on dérive une fonction, pas une expression réelle.
Il est important de noter \dfrac{\partial f}{\partial x}(?,?) où la lettre "x" désigne la première coordonnée dans \R^2 et les points d'interrogation sont à remplacer par des lettres (celles que tu veux, sauf "x","f") ou des valeurs réelles 0,g(0) si tu veux la valeur en ce point.
Mais pour dériver une deuxième fois tu seras bien obligé(e) de mettre des lettres pour pouvoir montrer quelle fonction tu cherches à dériver.

Maintenant, si tu préfères l'embrouillamini de ce que tu écris, c'est ton droit mais ne me demande pas de démêler l'écheveau...

Posté par
luzakre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 17:53

Citation :
aucun de vous deux peut me donner la ligne de calcul a suivre s'il vous plaît... Je suis perdue

Réponse méchante (en tout cas irréfléchie) : les formules données te permettent de tout calculer ! Il suffit de remplacer t par 0

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 18:12

Oui mais je veux trouver par moi même ce calcul le but étant de pouvoir refaire pas de mettre t=0 comma hop par magie...

Chez moi j'ai suivi tes conseils sur mon brouillon mais par exemple pour deriver \frac{df}{dy} (t,g (t))g'(t)

J'utilise ca : \frac{d(fk)}{dx} =\frac{df}{dx} (t,g (t))k(t,g (t)) + f (t,g (t))\frac{dk}{dx}(t,g (t))

Et je trouves ceci :

\frac{df}{dxdy} (t,g (t))g'(t) + g''x (t)\frac{df}{dy}(t,g (t)) + \frac{df}{d^2y} (t,g (t))g'(t) + g''x (t)\frac{df}{dy}(t,g (t))

Sauf que jamais j'ai ca dans le résultat voulu pour la derivee de g''(t)... j'ai des choses en trop et j'ai fait pareil ppur l'addition avec une autre formule forcément et au final j'ai pas ce qu'il faut...

Je sais pas si tu comprends mon soucis mais j'ai essayé de l'expliquer au mieux...

Fonction implicite et derivee seconde

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 18:13

"Ce calcul"  étant :

Fonction implicite et derivee seconde

Posté par
luzakre : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 21:18

Citation :
J'utilise ca : \frac{d(fk)}{dx} =\frac{df}{dx} (t,g (t))k(t,g (t)) + f (t,g (t))\frac{dk}{dx}(t,g (t))

Effectivement, tu dois dériver un produit de fonctions u,v mais tu ne prends pas les bonnes fonctions.
Dans ton cas,
w=\dfrac{\partial f}{\partial y},\;u : t\mapsto w(t,g(t)),\;v=g' donc, en appliquant ta méthode qui est correcte :
\dfrac{d(uv)}{dt}(t)=v(t)\Bigl(\dfrac{\partial w}{\partial x}(t,g(t))+\dfrac{\partial w}{\partial y}(t,g(t))g'(t)\Bigr)+v'(t)w(t,g(t)).

Ce qui est dans la grande parenthèse est la dérivée de t\mapsto u(t)=w(t,g(t))=\dfrac{\partial f}{\partial y}(t,g(t)).
Puis, en remplaçant w(t,g(t))=\dfrac{\partial f}{\partial x}(t,g(t)) tu fais apparaître les dérivées secondes partielles de f.

Encore une fois il faut bien te persuader que ton choix de la même lettre x est source de confusion et de difficulté.

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 13-12-17 à 22:28

Merci pour ta patience et tes explications luzak, je penses avoir compris meme si en effet j'a du mal a voir qu'elle variable changer encore mercii

Posté par
luzakre : Fonction implicite et derivee seconde 14-12-17 à 08:22

Disons que les lettres associées à \partial dans ce qui ressemble à un dénominateur désignent en fait des numéros de dérivation.
Si tu en es bien consciente (en particulier assez à l'aise avec ces notions) tu peux réutiliser ces lettres pour désigner des variables. Mais comme tu sembles bien perdu(e) j'ai préféré te conseiller de renoncer à ce mélange des genres..
Par exemple (x,y)\mapsto\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) c'est la même fonction que (z,t)\mapsto\dfrac{\partial f}{\partial x}(z,t).

Comme tu veux dériver t\mapsto\dfrac{\partial f}{\partial x}(t,g(t)) tu peux aussi chercher la dérivée de z\mapsto\dfrac{\partial f}{\partial x}(z,g(z)) ou x\mapsto\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,g(x)).
.............................................
Pour la dérivée seconde de la fonction implicite g tu aurais pu aussi, à partir de l'expression : g'(t)=\dfrac{-\frac{\partial f}{\partial x}(t,g(t))}{\frac{\partial f}{\partial y}(t,g(t))} calculer la dérivée d'un quotient:
On peut éviter le côté partouzard des A chevauchant B lui-même monté sur C en utilisant les notations
f'_x=\dfrac{\partial f}{\partial x},\;f''_{xy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.

Donc, g'(t)=\dfrac{-f'_x(t,g(t))}{f'_y(t,g(t))} et si tu sais calculer les dérivées des  composées t\mapsto f'_x(t,g(t)),\;\;t\mapsto f'_y(t,g(t)) tu peux trouver celle du quotient.
Tu obtiendras une formule compliquée, qu'il est difficile de mémoriser et je pense préférable de refaire le calcul selon la méthode indiquée pour trouver successivement les dérivées g',\;g'' en un point t.

Posté par
Synarre : Fonction implicite et derivee seconde 14-12-17 à 14:35

luzak @ 13-12-2017 à 17:51

Bonsoir !
Je t'ai déjà donné le conseil de ne pas mélanger les "x" (numéro d'une composante et le "x" (ta variable).
Reprends la formule écrite avec "t" comme variable et ensuite remplace "t" par 0.

Dans ce que tu viens d'écrire :
Dans chaque ligne, la deuxième dérivée partielle par rapport à "x" doit être une dérivée par rapport à "y" : deuxième composante de ta variable dans \R^2.

L'écriture \dfrac{\partial f(x,g(x))}{\partial x} est à bannir : on dérive une fonction, pas une expression réelle.
Il est important de noter \dfrac{\partial f}{\partial x}(?,?) où la lettre "x" désigne la première coordonnée dans \R^2 et les points d'interrogation sont à remplacer par des lettres (celles que tu veux, sauf "x","f") ou des valeurs réelles 0,g(0) si tu veux la valeur en ce point.
Mais pour dériver une deuxième fois tu seras bien obligé(e) de mettre des lettres pour pouvoir montrer quelle fonction tu cherches à dériver.

Maintenant, si tu préfères l'embrouillamini de ce que tu écris, c'est ton droit mais ne me demande pas de démêler l'écheveau...


Ha ha je dois avouer qu'en tant que physicien c'est ce que j'avais écris naturellement dans mon premier message du coup je plaide coupable

Posté par
luzakre : Fonction implicite et derivee seconde 14-12-17 à 15:22

Bonjour Synar !
J'ai quand même ajouté ça :

Citation :

Si tu en es bien consciente (en particulier assez à l'aise avec ces notions) tu peux réutiliser ces lettres pour désigner des variables. Mais comme tu sembles bien perdu(e) j'ai préféré te conseiller de renoncer à ce mélange des genres..

Je sais bien que les physiciens ne se gênent pas pour écrire une expression quand il faudrait une fonction.
Le malheur c'est que les programmes sont foutus de telle sorte qu'ils ont besoin de certaines notions AVANT que les matheux puissent donner de bonnes habitudes.
Et, comme tu t'en doutes, les mauvaises habitudes sont malheureusement celles qui restent.

Posté par
carpediemre : Fonction implicite et derivee seconde 14-12-17 à 16:38

x(x) = x => x'(x) = 1

f(x, y)= 0 \iff f(x, y(x)) = 0 => f'_x * x' + f'_y * y'(x) = 0 \iff y' = - \dfrac {f'_x} {f'_y}

et sans les variables c'est encore plus simple ...


généralisation avec des variables ... distinguées comme le fait luzak  :

f(x, y) = 0 \iff f(u, v) = 0 => f'_x (u, v) * u'_x (x, y) + f'_y (u, v) * v'_x(x, y) = 0

ou encore f(x, y) = 0 \iff f(u(x, y), v(x, y)) = 0 => f'_x (u(x, y), v(x, y)) * u'_x (x, y) + f'_y (u(x, y), v(x, y)) * v'_x(x, y) = 0

Posté par
carpediemre : Fonction implicite et derivee seconde 14-12-17 à 16:42

pardon ...

et alors :

si u(x, y) = x alors  u'_x = 1   et   u'_y = 0

si v(x, y) = y (= y(x)) alors  v'_x = y'(x)   et  v'_y = 1

Posté par
jazzou12re : Fonction implicite et derivee seconde 19-12-17 à 10:18

Merci pour tous vos messages ca m'a bien aidé à comprendre cette derivee seconde

Posté par
Razesre : Fonction implicite et derivee seconde 19-12-17 à 10:44

Bonjour,

Autre remarque:
e^{x-y}-1-x +y=0;Posons: X=x-y, Ce qui revient à résoudre l'équation:
e^{X}-X-1=0, dont la seule solution est X=0; Donc la seule solution est y=x

Posté par
carpediemre : Fonction implicite et derivee seconde 19-12-17 à 19:56

oui ...

et une autre encore ... pour le fun et jongler avec les variables ...

f(x, y) = e^{x - y} - x + y - 1 = e^{(-y) - (-x)} - (-y) + (-x) - 1 = f(-y, -x)

donc  f(x, y) = f(-y, -x)  et on dérive ...


\dfrac {\partial f} {\partial x} (x, y) = - \dfrac {\partial f} {\partial y} (-y, -x) = e^{x - y} - 1  et  \dfrac {\partial f} {\partial y} (x, y) = - \dfrac {\partial f}{\partial x} (-y, -x) = -e^{x - y} + 1

PS : j'ai effectué les calculs pour montrer ...


et une dernière (qui complète celle de Razes) : f(x, y) = e^{x - y} - (x - y) - 1 = e^{x - y} - (x - y) - 1 - (e^0 - 0 - 1)


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