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fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI !

Posté par
kaiser Moderateur
03-12-06 à 15:42

Bonjour à tous

À la demande de Camélia, j'ouvre un nouveau topic sur une question qui a été abordée suite à ce topic ! Un petit exo sympa sur les fonctions holomorphes !

Voici le problème :

Soit f une fonction de classe \Large{C^{\infty}} sur \Large{\mathbb{R}} tel que pour tout x, il existe un entier naturel n tel que \Large{f^{(n)}(x)=0}.
La question est alors : A-t-on f identiquement nulle ?

Kaiser

Posté par
Ksilver
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 03-12-06 à 16:12

Salut !


petit errata :

a-t-on f polynomial.

Posté par
kaiser Moderateur
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 03-12-06 à 16:18

Salut Ksilver

OK, ce topic commence bien en ce qui me concerne !

En tous cas, merci d'avoir corrigé !

Kaiser

Posté par
Ksilver
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 04-12-06 à 21:11

Je pense que c'est vrai en tous cas :

voici ma démonstration :



quelqu'un voit une erreur notable ?

fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI !

Posté par
kaiser Moderateur
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 04-12-06 à 21:34

Bonsoir Ksilver

Tu m'avais presque convaincu mais arrivé à la fin, il m'a semble repéré une petite erreur.
Tu dis \Large{f^{(n+1)}} s'annule donc \Large{f^{(n)}} est constante.
Pour ma part, je ne suis pas très convaincu par ceci car les ouverts ne sont pas forcément connexes.

Kaiser

Posté par
Ksilver
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 04-12-06 à 21:37

hum... effectivement ... il y a un petit truc a approfondir la :S

Posté par
kaiser Moderateur
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 04-12-06 à 21:38

Désolé !

Posté par
Camélia Correcteur
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 05-12-06 à 14:57

Bonjour! je viens seulement de reperer ce topic, donc d'abord MERCI!
Par ailleurs, moi aussi j'ai cru au début à la démonstration de Ksilver, (quoique les détails de topologie induite demandent une vérification soigneuse) mais la fin pose clairement problème!

En fait, en demandant un nouveau topic, j'espérais que quelqu'un reconnaitrait le théorème!

Posté par
stokastik
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 05-12-06 à 15:38


C'est un théorème de Borel et quelqu'un d'autre ou de Borel tout seul non ?

Posté par
stokastik
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 05-12-06 à 15:48


.. ou plutôt Baire..

Posté par
stokastik
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 05-12-06 à 15:51


... bah en cherchant sur le ouebbe j'ai vu que Baire-Borel-Lebesgue formaient un sacré trio et j'ai vu ce théorème

Posté par
Ksilver
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 05-12-06 à 17:29

Bon, deuxieme essai ! je pense que ce coup si c'est bon ^^

fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI !

Posté par
Camélia Correcteur
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 06-12-06 à 16:51

Je viens d'enregistrer et je réfléchirai à tête reposée, mais à première vue c'est pas mal!

Posté par
Camélia Correcteur
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 08-12-06 à 14:48

Je crois que c'est OK! Bravo

Si personne ne se manifeste, au lieu de l'appeler le théorème de QUI on l'appelera le théorème de Ksilver!

Posté par
kaiser Moderateur
re : fonction indéfiniment dérivable et théorème de QUI ! 10-12-06 à 18:53

Bonsoir à tous

Désolé de répondre si tard !
Pour ma part, je suis également convaincu.
OK pour l'appeler le théorème de Ksilver !

Kaiser



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