Niveau Licence-pas de math

Fonction intégrable

Posté par
Nerf 01-08-23 à 14:44

Bonjour, svp j'ai besoin d'aide.

Soit f: $\R$ + $\rightarrow$ $\R$ telle que (f')² est intégrable sur [1,+ $\infty$ [. Montrer qu'il en est de même pour g: t $\rightarrow$ $({\frac {f(t)}{t}})^2$

J'ai voulu passer par l'intégration par parties, mais je n'avance pas..

Posté par re : Fonction intégrable 01-08-23 à 15:06

Bonjour

Essaie d'appliquer l'inégalité des accroissements finis sur un intervalle [1,x]

Posté par re : Fonction intégrable 01-08-23 à 15:56

Pour appliquer l'IAF, il me faut tout d'abord borné f', mais je ne vois pas comment faire.

Posté par re : Fonction intégrable 01-08-23 à 16:41

Bonjour. f' etant de carré intégrable sur R+, ....

Posté par re : Fonction intégrable 01-08-23 à 18:17

Bonsoir,
une autre possibilité : $\int_a^b h(t)^2dt\geqslant\left(\int_a^b h(t)\,dt\right)^2$

Posté par re : Fonction intégrable 01-08-23 à 19:09

Mon message précédent dit une chose fausse.

Posté par re : Fonction intégrable 02-08-23 à 09:22

Bonjour,

une IPP donne $\int_1^x\dfrac{ f^2(t)}{t^2}\,dt\leqslant f^2(1)+\int_a^b \dfrac{2f(t)f'(t)}t\,dt$

Puis on utilise $2ab\leqslant a^2+b^2$ en choisissant astucieusement $a$ et $b$ .