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fonction inverse
J'ai un exercice de maths à faire dont je ne comprend vraiment pas
voila l'enoncé : ABCD est un carré de coté 4 cm, M est un point de [AB] et N le point de [AD] tel que AM = DN
P est le point tel que AMPN est un rectangle.
On pose AM = x et on note f la fonction qui à x (0 <= x <= 4) associe l'aire f(x), en cm2, du rectangle AMPN.
1° Prouvez que f(x) = 4x - x2
2° A l'ecran ci conctre, est affichée la courbe P de f. Les pas sont de 1 .
a) Conjecturez la valeur qui rend l'aire maximale.
b) Prouver que f est strictement croissante sur [0; 2]
c) Dressez le tableau de variation
Trouvez alors la position de M sur [AB] pour laquelle l'aire du rectangle est maximale .
3° On désire retrouver ce résultat par le calcul
a) Prouvez que f(x) = 4 - (x-2)2
b) Déduisez-en la valeur de x renant l'aire maximale et la valeur de cette aire .
Merci d'avance pour votre aide car la je suis vraiment pommée !
Bonjour sasa95
1.
On a:
A(AMPN)=AM*AN=x(4-x)=4x-x².
2.a.
Pour x=2, l'aire semble être maximale et vaut 4.
2.b.
Soit a et b de [0,2] tel que 0<a<b<2.
On montre que f(a)<f(b) donc que f est strictement croissante sur [0,2].
2.c.
On a:
x 0 2 4
----------------------------------------------------------
f 0 croissante 4 decroissante 0
donc l'aire est maximale pour x=2 et vaut 4.
3.a.
En developant 4 - (x-2)², on trouve:
4 - (x-2)²=4x-x²
donc f(x)= 4 - (x-2)²
3.b.
De cette formule on en déduit que f maximale quand (x-2)² s'annule donc pour x=2 et vaut bien 4.
Joelz
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