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Niveau seconde
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Fonction inverse

Posté par
lu22 10-04-20 à 12:06

Bonjour,
J'ai besoin d'aide sur un exercice sur les fonctions inverses. Voici l'énoncé :
Soit a * et b * et f la fonction inverse.
Le but est de déterminer les couples (a ; b) vérifiant l'égalité (E) suivante: f(a b ) = f(a) + f(b) .
1) Déterminer b pour que le couple ( 3 ; b ) vérifie ( E ).

J'ai essayé de trouver b sous forme d'équation avec l'égalité (E), mais je n'y arrive pas.
Est-ce-que quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci d'avance.

Posté par
heklare : Fonction inverse 10-04-20 à 12:09

Bonjour

Quel calcul faites-vous ?

Posté par
LeHiboure : Fonction inverse 10-04-20 à 12:20

Bonjour,

Je suppose que, par "fonction inverse", tu entends la fonction x -> f(x) = 1/x
Ton équation est alors :

\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

En particulier, pour a = 3 :

\frac{1}{3b} = \frac{1}{3} + \frac{1}{b}

Que tu peux encore écrire :

(\frac{1}{3})(\frac{1}{b}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{b}

Tu peux alors poser \frac{1}{b} = x
Cela s'appelle "faire un changement de  variable".
L'équation devient :

(\frac{1}{3})x = \frac{1}{3} + x

A partir de là, tu devrais arriver à trouver x, puis à remonter à b.

Posté par
heklare : Fonction inverse 10-04-20 à 12:29

Bonjour LeHibou

Pourquoi ne pas réduire au même dénominateur et identifier ?

Posté par
lu22re : Fonction inverse 10-04-20 à 13:13

Si je reprends cette équation

1/3x = 1/3 + x
1/3x - x = 1/3
1/3x (-3 / 3x)= 1/3
-2x = 1/3
x = (1/3)/ (-2)
x = -1/6

j'ai bon ?

Posté par
heklare : Fonction inverse 10-04-20 à 13:17

Que vaut alors b ?

\dfrac{1}{3b}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{b}

réduisez au même dénominateur

Posté par
LeHiboure : Fonction inverse 10-04-20 à 13:25

=> hekla

Citation :
Bonjour LeHibou

Pourquoi ne pas réduire au même dénominateur et identifier ?

Pourquoi pas, en effet ? Je n'ai jamais écrit qu'il y avait une seule méthode, et je ne crois pas qu'il y en ait une meilleure que l'autre.

En revanche, dans l'intérêt de l'élève, est-il pertinent, lorsqu'une méthode est proposée, d'en proposer immédiatement une autre ?

Je pose la question...

Posté par
LeHiboure : Fonction inverse 10-04-20 à 13:34

Et réponse à lulu22 :
Ton calcul est inexact :

(\frac{1}{3})x - x = \frac{1}{3}

(\frac{1}{3})x - (\frac{3}{3})x = \frac{1}{3}

(\frac{1}{3} - \frac{3}{3})x = \frac{1}{3}
...

Posté par
lu22re : Fonction inverse 10-04-20 à 14:16

On a donc :
(1/3 - 3/3)x = 1/3
2/3x = 1/3
x = (1/3) / (2/3)
x = 1/2
alors 1/b = 1/2 donc b=2

j'ai bon ?

Posté par
heklare : Fonction inverse 10-04-20 à 14:18

Non car 1-3=-2

Posté par
heklare : Fonction inverse 10-04-20 à 14:20

Je donnerai ma version après.  Il n'y avait aucune raison de passer par un changement de variable

Posté par
LeHiboure : Fonction inverse 10-04-20 à 16:55

Monsieur hekla détenant la Vérité sur ce qu'il faut faire et ne pas faire, je me retire de cette conversation.

Posté par
lu22re : Fonction inverse 10-04-20 à 17:06

J'ai trouvé comme solution -1/2. Est ce valable ?
Merci pour votre aide.

Posté par
LeHiboure : Fonction inverse 10-04-20 à 17:15

Oui c'est exact, mais ce n'est pas fini :
x = -1/2
On avait posé 1/b = x, peux-tu maintenant en déduire b ?

Posté par
heklare : Fonction inverse 10-04-20 à 17:21

Je n'ai jamais dit cela  Justement je laissais terminer votre solution pour ne pas l'embrouiller.

f(ab)=\dfrac{1}{ab}

f(a)+f(b)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} =\dfrac{b+a}{ab}  Lorsque il y a égalité on doit avoir 1=b+a les dénominateurs

étant le même.  si a=3 alors b=1-3=-2

Posté par
LeHiboure : Fonction inverse 10-04-20 à 17:26

Bien sûr, cela marche et même bien, et c'est même plus rapide.
Mais il m'avait paru intéressant de l'initier par cet exemple à la puissance du changement de variable.
Comme ça il a les deux méthodes et il exposera celle qu'il préfère.

Posté par
lu22re : Fonction inverse 10-04-20 à 18:55

J'ai compris b= -2
Merci beaucoup pour toutes ces explications, cela m'a beaucoup aidé.
J'ai encore des exercices, il est possible que j'ai encore besoin d'aide .
Bonne soirée


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