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Fonction limite

Posté par
Rasengan 23-11-20 à 16:34

Bonjour j'ai besoin d'aide avec cet exercice :

F est définie sur ]1;+infini[ par f(x)= (2+sin(x))/(x-1)

1) Démontrer que pour tout x appartenant à ]1;+infini[
1/(x-1) <= f(x)<=3/x-1

2) déterminer la limite de f en +infini

3) interpréter graphiquement ce résultat

Je suis bloqué à la première question

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 16:47

Bonjour

Donnez un encadrement de \sin x

que peut-on dire de 2 +\sin x  et de \dfrac{1}{x-1}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction limite 23-11-20 à 16:49

Bonjour,
Tu encadres sin(x). Puis 2+sin(x).

Sinon, une méthode très souvent efficace pour démontrer une inégalité du type \; A B , est de transformer \; B-A \; pour démontrer que \; B-A \; est positif ou nul.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction limite 23-11-20 à 16:50

Bonjour hekla

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 16:50

-1<sin(x)<1 ?
(J'ai été absent durant tout le chapitre c'est pour cela que je n'y arrive pas)

2+sin(x)=>1 ? Car 2+(-)1=1 ?

1/x-1 je ne sais pas

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 16:52

-1<sin(x)<1  donc 1<2+sin(x)<3 ?(est-ce bien < ou <= ?)

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 16:53

1/x-1 < 1  ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 16:57

Oui


-1\leqslant \sin x\leqslant 1

-1+2\leqslant \sin x+2\leqslant 1+2

1\leqslant \sin x+2\leqslant 3

Que doit-on faire pour obtenir les inégalités voulues?

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 17:02

Ah oui, rajouter x-1

1/x<=sin(x)+1/x<=3/x
1/x-1<=sin(x)+1/x-1<=3/x-1
Donc /x-1<=f(x)<=3/x-1

Et de cette façon on a prouvé ça ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 17:04

Non on n'ajoute pas   on multiplie par \dfrac{1}{x-1} et on peut le faire car c'est un réel \dots

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 17:08

Plutôt ça alors : 1*1/x-1<=sin(x)+2 *1/x-1<=3 * 1/x-1
1/x-1<=sin(x)+1/x-1<=3/x-1

Donc /x-1<=f(x)<=3/x-1

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 17:17

Si c'est bon pour cette question,
Comment faire pour la question 2)
La notation est        lim             ?
                                   x—>+infini  

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 17:18

Comment passez-vous de la première ligne à la deuxième ?

vous n'avez pas complété l'affirmation

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 17:19

En multipliant par 1/x-1 de chaque côté ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 17:31

Je ne pense pas  relisez ce que vous avez écrit   on passe de \sin x +2\times \dfrac{1}{x-1} à \sin x+\dfrac{1}{x-1}

1\times \dfrac{1}{x-1}\leqslant (\sin x+2)\times \dfrac{1}{x-1}\leqslant 3\times \dfrac{1}{x-1}

\dfrac{1}{x-1}\leqslant \dfrac{\sin x+2}{x-1}\leqslant \dfrac{3}{x-1}

2 \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)

Avez-vous pensé aux menottes ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction limite 23-11-20 à 17:42

Je ne connaissais pas cette dénomination. Super

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 17:53

Ah vous voulez dire le théorème des gendarmes ? Comment dois-je l'utiliser pour cette question ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 17:54

Bonsoir Sylvieg

C'était pour ne pas donner la dénomination usuelle  et ne pas donner la réponse immédiatement

Cela fait bien partie de leur panoplie.

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 17:56

Oui

Que valent  \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x-1} \quad \lim_{x\to +\infty}\dfrac{3}{x-1} ?

et appliquez-le

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 17:57

0  pour les 2

Mais donc comme 0<=f(x)<=0
La limite de la fonction est 0 ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 18:01

C'est bien ce qu'affirme le théorème des gendarmes  (dans la rédaction il faudra le citer)

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 18:02

Oui d'accord merci, je rédigerai bien...
Donc si c'est tout pour cette question

pour la dernière question, je ne comprend pas, il faut faire un graphique ?

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 18:21

Ou il ne faut pas parler d'asymptote ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 18:21

Non  on vous demande d'interpréter le comportement de la courbe au voisinage de l'infini

La courbe représentative de la fonction  f admet la droite d'équation y=\ell comme  \dots si \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 18:21

Bien sûr qu'il faut en parler puisque c'est ce que l'on vous demande.

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 18:26

Je dois dire : donc la droite y=0   est asymptote horizontale à Cf au voisinage de +infini (je ne comprend pas trop ce que cette phrase signifie, je ne fais qu'inappliquée le cours)

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 18:34

Est-ce que cette phrase est correcte ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 18:35

Plus x se rapproche de l'infini plus la distance entre un point de la courbe et un point de l'asymptote se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre

remarques : « horizontale » est superflu  et vous vouliez sans doute dire appliquer le cours

Fonction limite

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 18:40

(Oui qu'appliquer*)

Ah je comprend merci, donc ma phrase est correct mais je devrai enlever horizontale ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 18:43

je préférerais la droite d'équation y=0 ou encore mieux l'axe des abscisses

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 18:44

la droite d'équation y=0   est asymptote à Cf au voisinage de +infini ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 18:47

J ai horreur des termes asymptote horizontale ou verticale
pour la bonne raison  que cela ne fonctionne que si vous êtes dans un plan vertical par exemple au tableau l'autre sur une table
il serait normal de dire une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées ou à l'axe des abscisses

et dans le 3e cas non parallèle aux axes

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 18:48

18 :44 par exemple

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 18:50

D'accord merci, j'ai oublié de poster la seconde partie de l'exercice mais elle est indépendante de la première :

g est définie sur R - {3} par
g(x)=(6x^2-12x+1)/(x-3)
1)Déterminer les limites de g en -infini et +infini

2)Déterminer les limites à droite et à gauche de 3

3)interpréter graphiquement ce résultat

Pour la première il faut faire 2 limites ? Et dans les 2 cas il y a une formule inderterminee et il faut donc factoriser par le plus au degrés ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 18:59

Pas nécessairement  si vous commencez par dire que fa le même comportement à l'infini que 6x  donc en -\inf on a et en +inf on a

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 19:00

haut  oui

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 19:16

Donc           lim         6x^2(1-12x/6x^2 +1/6x^2)/x(1-3/x)
              x—>+infini

= (6x(1-12/6x +1/6x^2))/(1-3/x)
lim 1-12/6x +1/6x^2 =1
6x(1-12/6x +1/6x^2=+infini
lim 1-3/x=0-

Donc lim  =+infini
x—>+infini

C'est correcte ?

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 19:32

S'il vous plaît ?

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 19:45

Vous avez dit  que vous mettez le terme de plus haut degré en facteur

f(x)=\dfrac{6x^2\left(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{6x^2}\right)}{x \left(1-\frac{1}{2x^2}\right)}


\displaystyle \lim_{\x\to\pm \infty}\dfrac{\left(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{6x^2}\right)}{ \left(1-\frac{1}{2x^2}\right)} =1

donc \displaystlyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x)=\lim_{x\to \pm\infty} 6x

et vous concluez   +\infty en +\infty et -\infty en -\infty

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 19:52

Mais pourquoi 2x^2 au dénominateur ?  C'est plutôt x(1-1/x) ? On prend le plus haut degrés du dénominateur pour le dénominateur et le plus haut degrés du numérateur pour le numérateur non ?

Est-ce correcte ? :
lim           g(x)=-infini
x—> -infini

lim        g(x) =+infini
x—> +infini

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 20:15

  Au temps pour moi   j'ai gardé le texte du numérateur  on a bien  x(1-\dfrac{3}{x})

les textes sont à rectifier avec cela

oui

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 20:20

D'accord merci... pour la question soulignâtes je ne sais pas ce que ça signifie

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 20:21

Enfin je ne sais plutôt pas comment faire

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 20:22

suivante*

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 20:30

Laquelle   les limites en 3 ?

Si f tend vers \ell et g tend vers 0 alors \dfrac{f}{g} tend vers  \pm \infty  et on applique la règle des signes

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 20:30

Et aussi pour la question 3), il y aura donc 2 interprétations ?
(Je n'ai plus beaucoup de temps avant d'y aller)

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 20:34

Je ne comprend pas... la limite a droit et à gauche de 3 je ne comprend pas

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 20:34

ce qu'il faut faire*
Vous dites f et g mais à quoi cela correspond dans l'exercice actuel

Posté par
heklare : Fonction limite 23-11-20 à 20:40

  pour arriver à 3 vous avez 2 possibilités d'y arriver  soit par valeurs inférieures (à gauche) soit par valeurs supérieures (à droite)

f et g sont n'importe quelles fonctions  juste utiles pour les théorèmes

Posté par
Rasenganre : Fonction limite 23-11-20 à 20:43

Je dois arriver à 3 par les 2 cotés non ? Puisqu'il est écrit à droite et à gauche...  je peux choisir n'importe qu'elle fonction qui tend vers 3 ?

Donc 3/1+x et 3/1-x ?

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