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Fonction lipschitzienne

Posté par weby21 (invité) 27-02-05 à 17:51

Bonjour, aidez moi SVP je ne vois pas comment faire.
IL faut que je démontre cela :
La fonction est elle lipschitzienne sur [0, 2.Pi] ?
La fonction E, partie entière est elle lipschitzienne sur [0,2]?
La fonction racine carré est elle lipschitzienne sur [1,2]? sur [0,1]?
La fonction valeur absolue est elle lipschitzienne sur [-1,1]?

Merci beaucoup

Posté par
Nightmarere : Fonction lipschitzienne 27-02-05 à 18:15

Bonjour

Pour montrer que f est lip. sur I , il te suffit de démontrer que pour tout éléments distinct x et y de I :
\frac{f(x)-f(y)}{x-y} est bornée .

exemple , pour la racine carrée :

\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}

Cette derniére est bornée sur [1;2] , en effet , sur [1;2] , \sqrt{x}+\sqrt{y}>1 donc 0<\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<1

Donc x\to \sqrt{x} est lipschitzienne sur [1;2] .

par contre sur [0;1] , le quotient n'est pas borné donc la fonction n'est pas lip. sur cet intervalle .

A toi de jouer

Jord


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