Bonjour,

peux-tu nous rappeler ce qu'est une fonction k-lipschitzienne ?

Par ailleurs, ce n'est pas la suite qui est lipschitzienne, donc la question telle qu'elle est posée n'a pas dense. Recopie ton énoncé complètement s'il te plait.

Soit f une fonction de X dans R ou X est une partie de R. f est  lipschitzienne si il existe k un reel positif tel que pour tous x,y dans X on a
|f(y)-f(x)|<=k|y-x|.
L'exercice consiste a montrer que pour tous n non nul fn est lipschitziene sur [0,1].

Bien, fixons un entier naturel n. Pour x et y dans [0,1], tu cherches à majorer |f_n(x) - f_n(y)| par |x-y|, il te reste à faire les calculs : lance toi !

décidément, j'écris trop vite

Voici ce que j'ai fait :
Soit n un entier non nul il y a plusieurs cas a differencier si x et y sont tous deux dans ]1/n,1] alors
|fn(x)-f(y)|=0<=(n+1)|x-y|.
Si x et y sont tous deux dans [0,1/n] alors
|fn(x)-fn(y)|=n|x-y|<(n+1)|x-y|.
Si x est dans [0,1/n] et y dans ]1/n,1] alors
|fn(x)-fn(y)|=1-nx<=(n+1)|x-y|.
Et finalement si x est dans  ]1/n,1] et y dans [0,1/n] alors
|fn(x)-fn(y)|=1-ny<=(n+1)|x-y|.
ainsi pour tous x,y dans [0,1] on à |fn(x)-fn(y)|<=(n+1)|x-y|.
pour n fixé on vient de montrer que fn etait lipschitzienne sur [0,1].

C'est pas mal mais j'ai quelques remarques à te faire :

- si tu regardes bien la définition de fonction lipschitzienne que tu m'as donnée, l'inégalité est large, tu peux améliorer un peu ta constante (et en fait tu peux même trouver la plus petite constante de Lipschitz pour fn),

- tu ne justifies pas vraiment l'inégalité dans les deux derniers cas, j'espère que tu sais comment la démontrer,

- le dernier cas est superflu par la présence des valeurs absolues qui font que les variables x et y ont un rôle symétrique dans ton étude des cas possibles (d'ailleurs tu vois bien que l'argument pour le troisième et le dernier cas est exactement le même).

Je t'en prie, c'était avec plaisir bonne journée !