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Fonction Lipschitzienne et Continuité uniforme
Bonsoir à vous!
En lisant mon cours de maths je trouve que l'on passe un peu vite sur les propriétés de continuité uniforme des applications et le fait qu'elles soient ou non k-lipschitziennes.
Voici ce que j'ai compris :
Si (X,d) et (Y,d') sont deux espaces métriques,
f une application de X dans Y est dite k-lipschitzienne si et seulement si pour tous x, y dans X, d'(f(x), f(y)) < ou égale à k.d(x,y), k dans R.
Une application g de X dans Y est uniformément continue si :
aussi petit que soit epsilon, il existe un eta(epsilon) indépendant de x tel que si d(x,y) inférieure ou égale à eta, d(g(x),g(y)) inférieure ou égale à epsilon.
Une application k-lipschitzienne est uniformément continue, il suffit de prendre eta = epsilon / k.
Si toute application k-lipschitzienne est uniformément continue, je n'ai rien dans mon cours qui me dise quoi que ce soit sur la réciproque, et je suis incapable de trouver un exemple de fonction uniformément continue non-lipschitzienne. Avez-vous un exemple?
Merci d'avance.
Salut.
Je ne crois pas me tromper en prenant la fonction racine carre sur [0,1].
Uniformement continue car continue sur un segment mais pas lipschitzienne.
En effet la constante k serait 1/(V(x)+V(y)) qui tend vers linfini en prenant x=0 par exemple et en faisant tendre y vers 0
En effet, on a racine(x)/x tend vers + l'infini lorsque x tend vers 0+, donc la fonction définie sur [0,1] qui à tout x associe sa racine carrée n'est pas lipschitzienne.
Et elle est uniformément continue par Heine.
Merci beaucoup! 
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