Bonjour,
Je bloque depuis quelques temps sur un exercice dans lequel je dois montrer qu'une fonction est Lipschitzienne.
La fonction est la suivante :
On définit fn : [0;1] pour n
* de la façon suivante :
x
[0;1/n] , fn(x)=
n
x (x multiplié par racine de n)
x
[1/n;1] , fn(x)=
x (racine de x)
La dérivée à gauche en 1/n de fn vaut n
celle à droite en 1/n vaut (n)/2
Je ne peux donc pas utiliser le fait que la dérivée soit bornée sur l'intérieur du domaine de dérivation .
Je me suis occupé des cas :
-x,y [0;1/n]
-x,y [1/n;1]
Là j'essaye de montrer que fn est Lipchsitzienne pour : x [0;1/n] et y
[1/n;1] , et je n'y arrive pas du tout :/ .
J'ai essayé de partir de fn(x) - fn(y) = n.x -
y ,
en majorant de diverses façons le membre de droite, mais rien de concluant (j'ai l'impression d'en être même assez loin).
J'ai aussi essayé par l'absurde (en supposant que pour tout réel positif k, la valeur absolue de la différence des images de x et y par fn et strictement supérieure à la multiplication par k de la valeur absolue de la différence de x et y) mais là je bloque trés trés vite .
C'est pourquoi j'en appel à vous afin de m'éclairer un peu sur le problème s'il vous plait .
P.S : Je mets ça dans le forum Topologie car c'est un exercice d'un devoir maison de cette matière, bien que cela semble être uniquement de l'analyse .
Je dois juste montrer que la fonction fn définie plus haut est Lipschitzienne .
En fait, je n'arrive à montrer qu'elle l'est uniquement sur les deux intervalles [0;1/n] et [1/n;1] .
Je n'arrive pas à le montrer sur tout [0;1] .
La question de base est : "montrer que fn est élément de L"
Où L est l'espace vectoriel des fonctions Lipschitziennes de [0;1] dans .
Je n'avais pas du tout pensé à ça !
Merci beaucoup de votre aide, je vais essayer et vous tiens au courant des résultats !
Pardon . Je n'avais pas bien lu.
Soit n
*
Tu poses
a(n) = Sup{|fn '(x)| ; x [0 , 1/n]) , b(n) = Sup{|fn '(x)| ; x
[1/n , 1]) . Ce sont des réels.
Soient x et y réels vérifiant 0 x < y
1 et R(x,y) = |f(x) - f(y)|/|x - y|
Si y
/n tu as R(x,y)
a(n)
Si x 1/n tu as R(x,y)
b(n)
Si x < 1/n < y , tu as |x - y|.R(x,y) |f(x) - f(1/n)| + |f(1/n) - f(y)|
a(n)[x - 1/n| + b(n)|1/n - y|
c(n)|x - y| si tu poses c(n) = ....
La suite est à toi....
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