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Niveau Licence Maths 1e ann
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Fonction Lipschitzienne non continuement dérivable.

Posté par
Mimil
05-10-10 à 15:51

Bonjour,

Je bloque depuis quelques temps sur un exercice dans lequel je dois montrer qu'une fonction est Lipschitzienne.

La fonction est la suivante :

On définit fn : [0;1] pour n* de la façon suivante :

x[0;1/n] , fn(x)=nx (x multiplié par racine de n)
x[1/n;1] , fn(x)=x  (racine de x)

La dérivée à gauche en 1/n de fn vaut n
celle à droite en 1/n vaut (n)/2
Je ne peux donc pas utiliser le fait que la dérivée soit bornée sur l'intérieur du domaine de dérivation .

Je me suis occupé des cas :
-x,y [0;1/n]
-x,y [1/n;1]

Là j'essaye de montrer que fn est Lipchsitzienne pour : x [0;1/n] et y [1/n;1] , et je n'y arrive pas du tout :/ .
J'ai essayé de partir  de fn(x) - fn(y) = n.x - y ,
en majorant de diverses façons le membre de droite, mais rien de concluant (j'ai l'impression d'en être même assez loin).
J'ai aussi essayé par l'absurde (en supposant que pour tout réel positif k, la valeur absolue de la différence des images de x et y par fn et strictement supérieure à la multiplication par k de la valeur absolue de la différence de x et y) mais là je bloque trés trés vite .

C'est pourquoi j'en appel à vous afin de m'éclairer un peu sur le problème s'il vous plait .

P.S : Je mets ça dans le forum Topologie car c'est un exercice d'un devoir maison de cette matière, bien que cela semble être uniquement de l'analyse .

Posté par
kybjm
re : Fonction Lipschitzienne non continuement dérivable. 05-10-10 à 15:57

Et quelle est la question ?

Posté par
Mimil
re : Fonction Lipschitzienne non continuement dérivable. 05-10-10 à 16:02

Je dois juste montrer que la fonction fn définie plus haut est Lipschitzienne .
En fait, je n'arrive à montrer qu'elle l'est uniquement sur les deux intervalles [0;1/n] et [1/n;1] .
Je n'arrive pas à le montrer sur tout [0;1] .

La question de base est : "montrer que fn est élément de L"
Où L est l'espace vectoriel des fonctions Lipschitziennes de [0;1] dans .

Posté par
GaBuZoMeu
re : Fonction Lipschitzienne non continuement dérivable. 05-10-10 à 16:06

Citation :
Là j'essaye de montrer que fn est Lipchsitzienne pour : x  [0;1/n] et y  [1/n;1] , et je n'y arrive pas du tout


Mmm, voyons... Dans ce cas, pour aller de x à y, on peut faire étape à 1/n, non ? Et essayer de majorer |f(y) - f(1/n)| + |f(1/n) - f(x)| .

Posté par
Mimil
re : Fonction Lipschitzienne non continuement dérivable. 05-10-10 à 16:07

Je n'avais pas du tout pensé à ça !

Merci beaucoup de votre aide, je vais essayer et vous tiens au courant des résultats !

Posté par
Mimil
re : Fonction Lipschitzienne non continuement dérivable. 05-10-10 à 16:12

Effectivement ça marche du tonnerre !
Encore merci à vous GaBuZoMeu !

(Désolé du double-post).

Posté par
kybjm
re : Fonction Lipschitzienne non continuement dérivable. 05-10-10 à 16:15

Pardon . Je n'avais pas bien lu.

Soit n *
Tu poses
a(n) = Sup{|fn '(x)| ; x [0 , 1/n]) , b(n) = Sup{|fn '(x)| ; x [1/n , 1]) . Ce sont des réels.

Soient x et y réels vérifiant 0 x < y 1 et R(x,y) = |f(x) - f(y)|/|x - y|

Si y /n tu as R(x,y) a(n)
Si x 1/n tu as R(x,y) b(n)
Si x < 1/n < y , tu as |x - y|.R(x,y) |f(x) - f(1/n)| + |f(1/n) - f(y)| a(n)[x - 1/n|  + b(n)|1/n - y| c(n)|x - y| si tu poses c(n) = ....
La suite est à toi....



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