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Niveau IUT/DUT
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fonction ln

Posté par
smir
03-02-24 à 15:01

Bonjour, pouvez vous m'aider pour la question 2)

On considère la fonction numérique définie par f(x)=-\frac{lnx}{x}
1) Déterminer l'ensemble de définition de . Étudier les limites de aux bornes de Df   et en déduire les asymptotes à Cf
2) Calculer f(1) . Interpréter graphiquement le résultat.

Pour 1) Df=D_f=]0;+∞[
limite en 0 c est -∞ et limite en +∞ est 0
x=0 est AV et y=0 est AH
f(1)=0
Mais c'est Interpréter graphiquement le résultat qui me pose problème

Posté par
Panurge
re : fonction ln 03-02-24 à 15:36

Bonjour,
Ton problème d'interprétation vient du fait que ta limite en \0^+ est incorrecte ...

Posté par
Panurge
re : fonction ln 03-02-24 à 15:39

Lire  en 0^+

Posté par
smir
re : fonction ln 03-02-24 à 21:04

D accord
En 0+ la limite est +infinie
Et f(1)=0 donc lr point d intersection entre Cf et l axe des abscisses est le point A (1; 0)

Posté par
Panurge
re : fonction ln 03-02-24 à 21:25

Oui, c'est ça.
Et tu peux vérifier sur un traceur de courbe.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fonction ln 04-02-24 à 08:03

Bonjour,
Pour affirmer que c'est le seul point d'intersection, on peut ajouter que ln(x) = 0 n'a pas d'autres solutions que le réel 1.

Posté par
Ulmiere
re : fonction ln 05-02-24 à 12:40

Tu peux aussi dire que ta fonction est la dérivée de x\mapsto -1/2 ln(x)^2 et interpréter le résultat comme signifiant que cette fonction, négative, atteint son maximum (qui est 0) en x = 1.


Ou bien encore

-\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac1x \times \ln(\frac1x) donc la limite en 1 est la même que celle de x\ln(x) = x + x\ln(x)-x, qui correspond la primitive qui s'annule en 0 de 1 + \ln(x), c'est-à-dire \int_0^x (1+\ln(t))dt.
Donc l'aire (algébrique) sous la courbe représentative de x\mapsto 1+\ln(x) entre 0 et 1 est nulle.



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