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fonction localement cste sur un connexe par arcs
Bonsoir:
j'aimerais savoir si mon raisonnement est correct:
soit E un kevn, soit A une partie non vide de E, et soit F un ensemble quelconque non vide.Soit f : A 
F une application localement cste.
montrer que f est cste.
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d'abord on montre que pour tout a
A, l'ensemble Pa = {xA , f(x)=f(a)} est un ouvert.
soit xPa, il existe r>0 tel, pour tout yA f(y)=f(x)=f(a).
donc B(x,r) 
P, d'ou P est un ouvert.
Soit a A
pour montrer que f est cste, il suffit de montrer que Pa est un ouvert-fermé realtif de A.
on vient de montrer que Pa est un ouvert, et comme PA, alors P est un ouvert realtif de A.
[d'autre part, A-P = 
Px, avec xA, et f(x)
f(a)
A-P est donc une réunion d'ouverts,il est donc un ouvert.
mais comme A-P A, alors A-P est un ouvert relatif de A, d'ou P est un fermé relatif de A.]
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qu'est ce que vous en pensez?
je vous demande surtout votre a vis sur la partie entre crochets
merci.
salut
soit x
Pa, il existe r>0 tel, pour tout yA f(y)=f(x)=f(a).....donc f est constante sur A ....
où intervient r dans la fin de ton assertion ? ....
carpediem:
d'accord, merci.
psq je l'avais proposé en classe sans mentionner la condition f(x) f(y) (vers la fin de la démo), mais il m'a dit que c'est faux, puisque on n'a pas l'injectivité de f; alors j'ai pensé à le rectifier.
merci encore 
on peut aussi montrer directement que P = Pa est fermé
soit x un élément de l'adhérence de P et V un voisinage (ouvert) de x qu'on peut choisir inclus dans Px qui est ouvert
alors V rencontre P
dans P ::: pour tout y :: f(y) = f(a)
dans Px:: pour tout y :: f(y) = f(x)
dans V 
P ::: f(y) = f(a) et f(y) = f(x) donc .....
Salut,
Tu pouvais aussi remarquer qu'une application localement constante est necessairement continue (car une application constante est continue).
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