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fonction logarithme, limite et asymptote
bonjour,
j'ai un exercice à faire mais je suis bloqué dès la première question. voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur ]2;+
[ par
f(x)= (x-1) + ln ((x-2)/x)
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O;I;J) d'unité graphique 2 cm.
1. Calculer la limite de la fonction f en 2.
En déduire l'existence d'une asymptote D à la courbe C dont on précisera l'équation.
2.a) Calculer la limite de f en +
b) Montrer que la droite 
d'équation y=x-1 est asymptote oblique à la courbe C.
c) Etudier la position relative de et de C.
3.a) Montrer que f'(x)= ((x²-2x+2)/(x(x-2)))
b) Etudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de f.
4. Compléter le tableau suivant en donnant des valeurs approchées à 10-2 près.
| x | 2,1 | 2,5 | e | 3 | 5 |
| f(x) |
5. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une seule solution dont on donnera une valeur approchée à 0,1 près.
6. Construire
puis la courbe C.
j'ai déjà commencé par attaquer la première question, pour calculer la limite de f(x) en 2 j'ai fais :
lim x - 1 = 1
x->2
puis pour
lim ln ((x-2)/x) j'ai pensé à la forme ln(a/b) = ln a - ln b donc
x->2
lim ln x-2 = 0
x->2
lim x = 2
x->2
donc lim ln x-2 - ln x = 0
x->2
donc lim f(x) = 1
x->2
est-ce correct?
merci
bonjour
pour le log :
x--> 2
(x-2)--> 0
et le quotient tend vers 0
et le ln tend vers - infini
c'est pas plus compliqué que ça....
bonjour Camélia,
ça dépend, dans mon cours j'ai ln x = - quand la limite tend vers 0+
et qu'elle est indéterminable quand la fonction tend vers 0-
j'ai du mal à savoir quand il s'agit de 0+ et quand il s'agit de 0-
bonjour malou,
donc si je suis ton raisonnement
lim f(x) = - ?
x->2
car on obtient ln (0/2) donc ln quand x tend vers 0+ je pense donc - qu'on "ajoute" ensuite à 1 ce qui reste toujours - c'est bien cela?
on ne peut pas obtenir ln d'une quantité qui tend vers 0- puisque ta fonction est nécessairement définie....
donc on est sur qu'on est sur du ln d'une quantité qui tend vers 0+
tu éviteras d'écrire
ln (0/2)
cela n'a pas de sens
d'accord j'ai compris mais quand on fait
lim ln ((x-2)/x) on a pas le droit d'écrire que ca tend vers - car en vrai elle tend vers 0+ cette limite
x->2
donc à la fin x-1 tend vers 1 donc à la fin la fonction devrait tendre vers 1 non?
c'est OK pour la première partie de la première question
pour l'asymptote, j'ai dis que l'on avait une asymptote verticale car on a trouvé
lim = -
x->2
et qu'on sait qu'on obtient une asymptote verticale lorsque x tend vers +- en une valeur finie.
asymptote verticale d'équation x=1
pour la deuxième question :
lim f(x) = -
x-> +
car
lim x - 1 = +
x-> +
lim ln ((x-2)/x)= forme indéterminée
x->+
pour lever la forme indéterminée, j'ai utilisé la formule ln(a/b) = ln a - ln b
donc
lim ln (x-2) = +
x->+
et lim ln x = +
x->+
donc
lim ln (x-2) - ln (x) = -
x->+
donc
lim f(x) = -
x-> +
je viens de m'apercevoir que j'ai du me tromper quelque part car dans la question suivante, on est censé trouver une asymptote oblique
or il ne peut y avoir asymptote oblique que si et seulement si
lim f(x)= 0
x-> +
j'ai vu que j'avais écris
lim ln (x-2) - ln (x) = - alors que c'est une forme indéterminée
x->+
comment faire pour lever la forme indéterminée et donc pour trouver une limite qui tend vers 0 pour avoir notre asymptote oblique?
merci!
c'est OK pour la première partie de la première question
pour l'asymptote, j'ai dis que l'on avait une asymptote verticale car on a trouvé
lim = -
x->2
et qu'on sait qu'on obtient une asymptote verticale lorsque x tend vers +-
en une valeur finie.
asymptote verticale d'équation x=1
faut pas se moquer là....
concentre toi un peu....
asymptote oblique
f(x)= (x-1) + ln ((x-2)/x)
elle saute aux yeux !....
limite en + infini de (x-2)/x) (programme de 1re)
puis le log de
d'où l'asymptote oblique
oui certes on a une asymptote oblique d'où la suite de l'énoncé mais je pense qu'on a aussi une asymptote verticale non?
personnellement, je pense que l'on doit utiliser l'asymptote verticale pour la première question puis
l'asymptote oblique dans la suite de l'exercice non?
ou alors on doit utiliser l'asymptote oblique directement?
ce que je n'aime pas sur ce forum c'est que dès que les internautes font des erreurs on les laisse de côté alors que
c'est dans ces moments là que l'on a vraiment besoin de votre aide.
rassurez moi, on est encore là pour apprendre et s'entraider non? 
ce que je n'aime pas sur ce forum
alors, que les choses soient claires, tu n'es pas obligé d'y venir
on les laisse de côté
2e précision : je ne sais pas combien d'heures j'ai encore passé aujourd'hui à aider, et le nombre d'élèves qui ont bénéficié de conseils
mais as-tu pensé que parfois nous faisons autre chose, nous mangeons, nous nous promenons, etc....
alors à toi de t'organiser en postant suffisamment tôt tes sujets pour pouvoir obtenir de l'aide éventuellement sur plusieurs jours
génération : dans l'immédiateté ....
revenons à ton sujet
oui, il y a une asymptote verticale, mais elle n'a pas l'équation que tu dis, et là je dis, faut être sérieux....on n'est pas là pour pister non stop des erreurs soit disant d'étourderie....
ensuite : et ce n'est pas la même question;..oui, il y a aussi une asymptote oblique...il suffit de lire correctement le sujet qui détaille tout pour comprendre l'enchainement
donc ce que l'on attend de moi à la première question, c'est l'asymptote verticale ou oblique?
d'après moi, je le dis et je le redis, on attend l'asymptote verticale (je me suis juste trompé dans l'équation)
mais d'après toi, qu'attend t-on ici exactement?
merci de ton aide qui est vraiment bénéfique quand tu veux bien l'accorder
(je me suis juste trompé dans l'équation)
ben voilà, juste trompé....
2.a) Calculer la limite de f en +
b) Montrer que la droite
d'équation y=x-1 est asymptote oblique à la courbe C.
c) Etudier la position relative de
et de C.et là on attend une asymptote oblique !! c'est écrit !
pourquoi tu dis que j'ai faux alors
la réponse à la question 1 c'est bien asymptote verticale d'équation x=1?
est sous la forme x=a donc ici a=1 non?
non, a ne vaut pas 1
autant pour moi....mais bon....20 fois sur la même question, il arrive un moment où.....
pour la question 2 a) je sais qu'on doit trouver
lim f(x) = 0
x->+
seulement je suis bloqué à cette étape :
lim x-1 = +
x->+
puis
lim ln ((x-2)/x) = forme indéterminée
x->+
je n'arrive pas à lever la F.I
a) je sais qu'on doit trouver
lim f(x) = 0
x->+
faux...
puis
lim ln ((x-2)/x) = forme indéterminée
x->+
FI qu'on apprend à lever au lycée...quotient des termes de plus haut degré
ou x en facteur en "haut" et en "bas", que l'on simplifie et il n'y a plus de FI
bon, je quitte pour ce soir....je regarderai demain ce que tu as posté.
bonne soirée.
poster pour dire ton étonnement devant le fait que ce soit faux, et ne rien proposer à la place ne fait pas vraiment avancer les choses....
oui faux
donc reprendre ses notes, son cours, je ne sais...
relire son énoncé, qui lui est juste, donc on ne remet pas en cause le fait qu'il y aura une asymptote oblique
et rechercher dans ses notes comment on fait, et l'appliquer....et proposer du concret....merci
bonsoir malou,
j'ai eu le temps d'avancer un peu de mon côté aujourd'hui et je suis arrivé à la question 3.a)
seulement je n'arrive plus à avancer plus que ça ..
je sais qu'il faut faire la dérivée donc
f(x) = x - 1 + ln ((x-2)/x)
f'(x) = 1 - 0 + ??
normalement je pense que je dois utiliser la formule u/v = u'v-uv'/v²
ou alors il y a autre chose à faire?
merci encore de ton aide
Je te précise quand même ce que j'ai fais pour la question 2
2.a) lim en + = +
b) j'ai utilisé la formule du cours f(x) - ax+b puis j'ai fais sa limite en + et j'ai trouvé 0 donc j'ai dis qu'il y avait bien une asymptote oblique
c) sur la calculatrice, on remarque bien que est au dessus de C
voila voila j'attends ton aide pour la suite
2;a) et b) OK
2.c) en plus de la conjecture vue à la calculatrice, normalement, tu dois le démontrer (cette position), en étudiant le signe de la différence que tu as calculée
càd le signe de la différence f(x)-(ax+b)=ln ((x-2)/x)
et tu retrouveras ce que tu as vu sur la calcultarice
question 3
f(x) = x - 1 + ln ((x-2)/x)
f'(x) = 1 - 0 + ??
normalement je pense que je dois utiliser la formule u/v = u'v-uv'/v²
non, c'est d'abord la dérivée de ln(u) qui est u'/u
mais effectivement pour trouver ce u', tu vas devoir dériver un quotient
au pire, qd on ne sait pas faire en DS, on admet le résultat qui est donné et on poursuit !
voilà !
oui je suis d'accord avec toi, en DS j'aurai passé cette question en admettant le résultat mais
en exercice je préfère savoir "forcer" un peu dessus pour savoir le faire en DS justement
j'ai essayé mais je ne tombe pas sur la dérivée attendue
f(x) = x - 1 + ln ((x-2)/x)
f'(x) = 1 - 0 + ln (u)
sachant que ln (u) = u'/u alors
f'(x) = 1 + u'/u sachant que u = ((x-2)/x) et u' = 1/1 = 1
= 1 + 1/((x-2)/x)
ensuite c'est le retour du blocage
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