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Fonction logarithme neperien

Posté par
Togen
03-02-21 à 22:57

Bonsoir, j'ai besoin d'aide avec cet exercice s'il vous plaît :
1) h(x)=15\ln(x)-10x+30 défini sur ]0;+infini[
a) Déterminer les limites en 0 et +infini
je trouve dans les 2 cas -infini ?

b)Étudier le sens de variation de h
En faisant un tableau de variation je trouve que h(x) est croissante sur ]0;3/2[ et décroissante sur ]3/2;+infini[


c)Montrer que h(x)=0 admet exactement deux solutions bêta et alpha
h est continue et strictement croissante sur ]0;3/2[ ou ]0;3/2] ?
0 est compris entre lim(x->0+) h(x) et h(3/2)
Donc d'après la conséquence du TVI, h(x)=0 admet une unique solution alpha sur ]0;3/2[ ou ]0;3/2] ?

h est continue et strictement décroissante  sur ]3/2;+infini[ ou [3/2;+infini[ (desole je ne sais jamais si c'est ouvert ou  fermé
0 est compris entre h(3/2) et lim (x->+infini) h(x)
Donc d'après la conséquence du TVI, h(x)=0 admet une unique solution alpha sur [3/2;+infini[

d)En déduire le signe de h(x)
Le signe est - 0 +0 - (je l'ai fait sous forme de tableau de variation) et les 0 sont pour x=alpha et bêta

Il y a une seconde partie mais j'aimerai finir la première d'abord

Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 03-02-21 à 23:20

Bonsoir

limites oui

sens de variation oui

Des homonymes   2 fois alpha  
en général sur un ouvert
oui signe

image

Fonction logarithme neperien

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 03-02-21 à 23:22

Merci, donc tout est correcte ?

Et donc pour 3/2 je laisse les crochets ouverts ou fermés ? Car ce n'est pas croissante en x=3/2 ni décroissante

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 03-02-21 à 23:30

Je laisserais ouvert  mais en un point il n'y a pas de variation

Avez-vous corrigé le second \alpha ?

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 03-02-21 à 23:37

J'ai mis alpha au lieu de bêta ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 03-02-21 à 23:40

oui les deux valeurs ont été appelées  \alpha  mais non dans le signe

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 03-02-21 à 23:46

J'ai fait une autre erreur à la question c ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 03-02-21 à 23:48

le \alpha au lieu du \beta  est dans la question c

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:00

Ah oui donc c'est bon merci...

Voici la partie suivante :
j(x)=15xln(x)-5x2+15x+60

a) Déterminer les limites en 0 et +infini
Je trouve en +infini : -infini  et en 0+ : 60

b)montrer pour tout x>0, j'(x)=h(x)
Ça je ne l'ai pas encore fait mais je pense que je peux me débrouiller puisqu'on trouve pareil que h(x)

c) En déduire le sens de variation de j
15ln(x)=0 <=> x=1
-10x+30=0 <=> x=3
Décroissante puis croissante puis décroissante ?

d) Calculer la convexité de j
Je dois faire j''(x) ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:13

limite en 0 60 en +\infty :-\infty

j'(x)=h(x)

c) À quoi sert le fait de vous avoir fait exprimer le signe de h(x) ?

d oui

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:18

Comme h(x) est négatif sur ]0;alpha[ puis positif sur ]alpha;beta[  puis négatif sur ]beta;+infini[

J'(x) est négatif sur ]0;alpha[ puis positif sur ]alpha;beta[  puis négatif sur ]beta;+infini[
Donc j(x) est décroissante  sur ]0;alpha[ puis croissante sur ]alpha;beta[  puis décroissante sur ]beta;+infini[

Aurai-t-il fallu calculer alpha et bêta ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:24

Apparemment on ne vous l'a pas demandé   À la calculatrice vous pouvez trouver une valeur approchée mais dans le tableau il faut garder \alpha et \beta

Vous pourriez mettre ces valeurs approchées lors de la présentation  de \alpha et \beta en 1 c

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:27

Pour la d) j''(x)=h'(x)

Donc j''(x)=15/x -10 = -10x+15 / x

x=0 et -10x+5=0 <=> x=0,5

Donc on fait un tableau de variation et on trouve que j(x) est convexe sur ]0;0,5[ ou crochets fermés en 0,5 ? Et concave sur [0,5;+infini[ ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:38

j''(x)=0 \iff \begin{cases}x\not=0\\-10x+15=0\end{cases}

Le signe de j''(x) est celui de h'(x) donc inutile de le redémontrer

j'' positif sur ]0 ;3/2[ donc j convexe

négatif sur ]3/2 ;+\infty[  donc concave

je doute de la formulation au lieu de calculer cela devrait être :  étudier

On peut alors préciser qu'il y a un point d'inflexion en 3/2

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:42

Oui c'est étudier pardon

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:44

D'accord merci !

Il y a une dernière partie que j'ai oublié d'ajouter :

j(x) montre l'évolution du poul d'un acteur sur 10s. Lorsque x entre 0 et 10s, j(x) est en puls/min

a)Quel est le moment où son poul est au maximum
Je ne sais pa

b)Quel est le moment où la croissance de son poul ralentit ?
La croissance commence à ralentir au point d'inflexion donc à 3/2 ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:45

Ce n'est pas le principal   C'est plutôt la valeur que vous avez trouvée pour annuler j'(x)

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:46

Je n'ai pas compris votre message de 00:45

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:50

Quel est le maximum de  j  ? N'est-ce pas en \beta ?

Il me semble 3/2

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:52

Citation :
-10x+5=0 <=> x=0,5


1) vous avez oublié un 1 c'est 15 et non 5 et

2) la valeur qui annule est 3/2 et non 0,5

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 00:59

Ah d'accord merci !

a)Le maximum est le point d'inflexion ? Donc 3/2 ? Donc son pour est maximal à 1,5s pour un poul de 80,37puls/min

b)il commence à ralentir au point d'inflexion donc à 3/2 ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 01:03

À moins que vous ayez prouvé que \beta=1,5  Non


Je continuerai tout à l'heure  vers midi

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 01:06

Pourquoi ça serait en bêta ?

D'accord pas de soucis, bonne nuit !

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 11:46

Reprenons

Partie I  on a une fonction h dont on a étudié le sens de variation  

croissante jusqu'à 3/2 et décroissante ensuite

Le TVI a permis de montrer qu'il existait une valeur \alpha \approx 0,1495   et une valeur \beta \approx 5,5783

pour lesquelles leur image est nulle.

On en a donc déduit le signe de h(x)  

strictement négatif sur  ]0~;~3/2[

strictement positif sur ]\alpha~;~\beta[

strictement négatif sur ] \beta;~+\infty[
fin de la partie I

Partie II Étude de la fonction j

En résumé le tableau de variation
Fonction logarithme neperien

convexité de j  convexe sur ]0~;~3/2[  concave ensuite point d'inflexion en 3/2

j représentant le nombre de pulsations minute   le maximum  est atteint pour le maximum de j soit \beta

Fonction logarithme neperien

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 11:50

D'accord merci !
Mais pour justifier que Bêta est le maximum, calculer j(beta) et bêta suffit à le justifier ?

Et pour la seconde question, son rythme cardiaque ralentit au point d'inflexion ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:03

\beta est la valeur pour laquelle le maximum est atteint  et non le maximum

On pourrait dire  d'après le tableau de variation j étant croissante avant \beta et décroissante ensuite  le maximum est donc atteint en \beta. Il vaut 132

La fonction j' est  croissante sur ]0~;~3/2[ et décroissante  sur ]3/2 ~;~10] en considérant la restriction de j' à ]0 ;10]

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:06

La toute dernière ligne est pour la question b) ?  Je n'ai pas compris pourquoi on parle de j' et non j

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:18

Le ralentissement sera prouvé lorsque la tangente à la courbe aura un coefficient directeur de plus en plus petit
le coefficient directeur est bien donné par le nombre dérivé  c'est donc la dérivée qu'il faut étudier  c'est-à-dire j'

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:21

Donc le point d'inflexion 3/2 est bien le moment à partir duquel le poul commence à ralentir ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:28

Oui

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:31

D'accord merci ! Je voudrai juste revenir sur certaines questions s'il vous plaît :
Pour la question 1) de la première partie, la limite en +infinie il y a une forme indéterminée donc on factorise par le terme le plus fort ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:35

On va factoriser par x puisque l'on sait que

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:39

Donc on a : x(15/x * ln(x)/x -10 + 30/x)
J'ai le droit de séparer le 15 du ln(x) ?
lim 15/x=0
lim ln(x)/x=0 par croissances comparées
lim 10+30/x=10
Donc lim 15/x * ln(x)/x -10 + 30/x=-10
lim x=+infini
Donc lim g(x)=-infini

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:44

a\times \dfrac{b}{c}=\dfrac{ab}{c}

15 \ln x=x\left( \dfrac{15\ln x}{x}\right)

 x\left(  \dfrac{15\ln x}{x}-10 +\dfrac{30}{x}\right)

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:46

Mais je ne connais pas la limite de 15ln(x)/x mais de ln(x)/x

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 12:49

15\times 0=0

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 13:32

D'accord merci !

Ensuite pour la limite en 0 de la question 1) de la seconde partie : il y a une forme indéterminée donc on factorise tout  ou juste 15xln(x) ? Car il n'y a pas de problèmes avec le reste

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 13:49

Je n'arrive pas à factoriser 15xln(x), ça donne x(15* ln(x)/x) ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 13:50

Là c'est un peu plus compliqué  on se ramène au cas connu

x=\dfrac{1}{\frac{1}{x}} ;  \ln x=-\ln\frac{1}{x} on obtient alors

x\ln x = \dfrac{-\ln \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}
on a alors quelque chose de la forme  \dfrac{\ln Z}{Z} avec

Z tendant vers +\infty

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 13:51

Est-ce qu'on peut utiliser les croissances comparées et dire que 15x>ln(x) ?

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 13:54

Enfin que par croissances comparées, lim 15xln(x) = 0

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 14:03

Les croissances comparées c'est en l'infini pas en 0 c'est bien pour cela que l'on fait toute cette gymnastique  après on le sait  et on considère cela comme un résultat connu que l'on ne démontre plus

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 14:08

D'accord merci... Il y a une autre chose que je ne comprend pas :
Pour la toute première limite par exemple en 0+ :
limbg(x)=-infini car lim 15ln(x)=-infini }
                                            lim -10x+30=30    } + =-infini

Ou bien plutôt : lim 15ln(x)=-infini }
                                    lim 10x+30=30      } - =-infini

Laquelle des deux façons je dois faire ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 14:18

\displaystyle \lim_{x\to 0}15\ln x-10x+30=\lim_{x\to 0} 15\ln x+\lim_{x\to 0}( -10x+30)

or \displaystyle \lim_{x\to 0}15\ln x=-\infty\quad \lim_{x\to 0} (-10x+30)=30donc  

\displaystyle \lim_{x\to 0}15\ln x-10x+30=-\infty+30=-\infty

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 14:21

D'accord merci ! Ensuite je n'ai pas trop compris votre message de 13h50 je n'ai jamais fait ça

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 14:40

Ce n'est pas étonnant

 x\ln x est de la forme indéterminée 0\times \infty d'où nécessité de la lever

Avec si peu  Que faire  ?  On sait avec la croissance comparée  qu'en +\infty\   \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln (x)}{x}=0

si x tend vers 0 alors son inverse tend vers \infty

Une idée est donc d'écrire x\ln x en fonction des inverses

1 l'inverse de 1/x est x

2 -\ln x=\ln \frac{1}{x} On a maintenant tout ce que l'on veut  x\ln x=-\dfrac{\ln \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}

Il en résulte que  \displaystyle \lim_{x\to 0}x\ln  x=0

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 14:53

D'accord merci !
Pour la limite en +infini, je factorise tout par x^2 ?
Donc on obtient lim g(x)=lim x^2(15/x * ln(x)/x^2 -5+15/x+60/x^2) ?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 15:07

Il faudrait revoir les factorisations

15x\ln x=x^2\left(\dfrac{15 \ln x}{x}\right)

15x\ln x-5x^2+15x+60= x^2\left( \dfrac{15\ln x}{x}-5+\dfrac{15}{x}+\dfrac{60}{x^2}\right)
 \\ 
 \\

Posté par
Togen
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 16:48

D'accord merci beaucoup !

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme neperien 04-02-21 à 16:54

Si vous avez encore des questions  n'hésitez pas à les poser

De rien

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