Bonsoir

limites oui

sens de variation oui

Des homonymes   2 fois alpha  
en général sur un ouvert
oui signe

image

Merci, donc tout est correcte ?

Et donc pour 3/2 je laisse les crochets ouverts ou fermés ? Car ce n'est pas croissante en x=3/2 ni décroissante

Je laisserais ouvert  mais en un point il n'y a pas de variation

Avez-vous corrigé le second ?

J'ai mis alpha au lieu de bêta ?

oui les deux valeurs ont été appelées   mais non dans le signe

J'ai fait une autre erreur à la question c ?

le au lieu du   est dans la question c

Ah oui donc c'est bon merci...

Voici la partie suivante :
j(x)=15xln(x)-5x²+15x+60

a) Déterminer les limites en 0 et +infini
Je trouve en +infini : -infini  et en 0+ : 60

b)montrer pour tout x>0, j'(x)=h(x)
Ça je ne l'ai pas encore fait mais je pense que je peux me débrouiller puisqu'on trouve pareil que h(x)

c) En déduire le sens de variation de j
15ln(x)=0 <=> x=1
-10x+30=0 <=> x=3
Décroissante puis croissante puis décroissante ?

d) Calculer la convexité de j
Je dois faire j''(x) ?

limite en 0 60 en :



c) À quoi sert le fait de vous avoir fait exprimer le signe de ?

d oui

Comme h(x) est négatif sur ]0;alpha[ puis positif sur ]alpha;beta[  puis négatif sur ]beta;+infini[

J'(x) est négatif sur ]0;alpha[ puis positif sur ]alpha;beta[  puis négatif sur ]beta;+infini[
Donc j(x) est décroissante  sur ]0;alpha[ puis croissante sur ]alpha;beta[  puis décroissante sur ]beta;+infini[

Aurai-t-il fallu calculer alpha et bêta ?

Apparemment on ne vous l'a pas demandé   À la calculatrice vous pouvez trouver une valeur approchée mais dans le tableau il faut garder et

Vous pourriez mettre ces valeurs approchées lors de la présentation  de et en 1 c

Pour la d) j''(x)=h'(x)

Donc j''(x)=15/x -10 = -10x+15 / x

x=0 et -10x+5=0 <=> x=0,5

Donc on fait un tableau de variation et on trouve que j(x) est convexe sur ]0;0,5[ ou crochets fermés en 0,5 ? Et concave sur [0,5;+infini[ ?

Le signe de est celui de donc inutile de le redémontrer

positif sur ]0 ;3/2[ donc convexe

négatif sur   donc concave

je doute de la formulation au lieu de calculer cela devrait être :  étudier

On peut alors préciser qu'il y a un point d'inflexion en

Oui c'est étudier pardon

D'accord merci !

Il y a une dernière partie que j'ai oublié d'ajouter :

j(x) montre l'évolution du poul d'un acteur sur 10s. Lorsque x entre 0 et 10s, j(x) est en puls/min

a)Quel est le moment où son poul est au maximum
Je ne sais pa

b)Quel est le moment où la croissance de son poul ralentit ?
La croissance commence à ralentir au point d'inflexion donc à 3/2 ?

Ce n'est pas le principal   C'est plutôt la valeur que vous avez trouvée pour annuler

Je n'ai pas compris votre message de 00:45

Quel est le maximum de  j  ? N'est-ce pas en ?

Il me semble 3/2

Ah d'accord merci !

a)Le maximum est le point d'inflexion ? Donc 3/2 ? Donc son pour est maximal à 1,5s pour un poul de 80,37puls/min

b)il commence à ralentir au point d'inflexion donc à 3/2 ?

À moins que vous ayez prouvé que   Non


Je continuerai tout à l'heure  vers midi

Pourquoi ça serait en bêta ?

D'accord pas de soucis, bonne nuit !

Reprenons

Partie I  on a une fonction h dont on a étudié le sens de variation  

croissante jusqu'à 3/2 et décroissante ensuite

Le TVI a permis de montrer qu'il existait une valeur \alpha \approx 0,1495   et une valeur \beta \approx 5,5783

pour lesquelles leur image est nulle.

On en a donc déduit le signe de   

strictement négatif sur

strictement positif sur

strictement négatif sur
fin de la partie I

Partie II Étude de la fonction

En résumé le tableau de variation


convexité de j  convexe sur ]0~;~3/2[  concave ensuite point d'inflexion en 3/2

j représentant le nombre de pulsations minute   le maximum  est atteint pour le maximum de soit

D'accord merci !
Mais pour justifier que Bêta est le maximum, calculer j(beta) et bêta suffit à le justifier ?

Et pour la seconde question, son rythme cardiaque ralentit au point d'inflexion ?

\beta est la valeur pour laquelle le maximum est atteint  et non le maximum

On pourrait dire  d'après le tableau de variation étant croissante avant et décroissante ensuite  le maximum est donc atteint en . Il vaut 132

La fonction est  croissante sur et décroissante  sur ] en considérant la restriction de j' à ]0 ;10]

La toute dernière ligne est pour la question b) ?  Je n'ai pas compris pourquoi on parle de j' et non j

Le ralentissement sera prouvé lorsque la tangente à la courbe aura un coefficient directeur de plus en plus petit
le coefficient directeur est bien donné par le nombre dérivé  c'est donc la dérivée qu'il faut étudier  c'est-à-dire

Donc le point d'inflexion 3/2 est bien le moment à partir duquel le poul commence à ralentir ?

Oui

D'accord merci ! Je voudrai juste revenir sur certaines questions s'il vous plaît :
Pour la question 1) de la première partie, la limite en +infinie il y a une forme indéterminée donc on factorise par le terme le plus fort ?

On va factoriser par puisque l'on sait que

Donc on a : x(15/x * ln(x)/x -10 + 30/x)
J'ai le droit de séparer le 15 du ln(x) ?
lim 15/x=0
lim ln(x)/x=0 par croissances comparées
lim 10+30/x=10
Donc lim 15/x * ln(x)/x -10 + 30/x=-10
lim x=+infini
Donc lim g(x)=-infini

Mais je ne connais pas la limite de 15ln(x)/x mais de ln(x)/x

D'accord merci !

Ensuite pour la limite en 0 de la question 1) de la seconde partie : il y a une forme indéterminée donc on factorise tout  ou juste 15xln(x) ? Car il n'y a pas de problèmes avec le reste

Je n'arrive pas à factoriser 15xln(x), ça donne x(15* ln(x)/x) ?

Là c'est un peu plus compliqué  on se ramène au cas connu

;   on obtient alors


on a alors quelque chose de la forme   avec

Z tendant vers

Est-ce qu'on peut utiliser les croissances comparées et dire que 15x>ln(x) ?

Enfin que par croissances comparées, lim 15xln(x) = 0

Les croissances comparées c'est en l'infini pas en 0 c'est bien pour cela que l'on fait toute cette gymnastique  après on le sait  et on considère cela comme un résultat connu que l'on ne démontre plus

D'accord merci... Il y a une autre chose que je ne comprend pas :
Pour la toute première limite par exemple en 0+ :
limbg(x)=-infini car lim 15ln(x)=-infini }
                                            lim -10x+30=30    } + =-infini

Ou bien plutôt : lim 15ln(x)=-infini }
                                    lim 10x+30=30      } - =-infini

Laquelle des deux façons je dois faire ?

or donc  

D'accord merci ! Ensuite je n'ai pas trop compris votre message de 13h50 je n'ai jamais fait ça

Ce n'est pas étonnant

est de la forme indéterminée d'où nécessité de la lever

Avec si peu  Que faire  ?  On sait avec la croissance comparée  qu'en

si tend vers 0 alors son inverse tend vers

Une idée est donc d'écrire en fonction des inverses

1 l'inverse de est

2 On a maintenant tout ce que l'on veut

Il en résulte que  

D'accord merci !
Pour la limite en +infini, je factorise tout par x^2 ?
Donc on obtient lim g(x)=lim x^2(15/x * ln(x)/x^2 -5+15/x+60/x^2) ?

Il faudrait revoir les factorisations

D'accord merci beaucoup !

Si vous avez encore des questions  n'hésitez pas à les poser

De rien