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Fonction non monotone

Posté par
Ramanujan 29-12-18 à 02:39

Bonsoir,

Soit f : \R \rightarrow \R avec f(x)=x^3 - x+ 1

1/ Montrer que f n'est pas monotone.

2/ Que pensez vous de la somme de 2 fonctions monotones ?

D'après mon cours, une fonction monotone est une fonction croissante ou décroissante.

Donc une fonction non strictement monotone n'est pas croissante ET n'est pas décroissante. Ce que je traduis en quantificateurs par :

\exists x \in \R , y \in \R tel que : x \leq y et f(x) >f(y)

ET

\exists x' \in \R , y' \in \R tel que : x' \leq y' et f(x') < f(y')

Mais je n'arrive pas à trouver ces points y a t-il une méthode pour les trouver ? Etudier la fonction ?

J'espère ne pas avoir fait d'erreurs en logique.

Posté par
luzakre : Fonction non monotone 29-12-18 à 08:37

Pourquoi as-tu changé "monotone" en "strictement monotone" entre tes deux énoncés ?

Une fonction constante n'est pas strictement monotone et elle est croissante !

...............................
Un détail : si tu regardes la définition de \exists tu verras que \exists x,\;P(x) signifie "il existe x tel que P(x) ".
Donc en ajoutant tes "tel que", tu bégaies !

..........................
Une autre façon d'écrire la non monotonie serait :
\exists(x,y,z)\in K^3,\;x<y<z\text{ et } (f(y)-f(x))(f(y)-f(z))<0.

.......................................
Pour répondre à ta question "erreurs de logique" il faudrait savoir si pour toi fonction croissante s'exprime par :
\forall(x,y)\in K^2,\;x<y\implies f(x)\leqslant f(y) ou
\forall(x,y)\in K^2,\;x\leqslant y\implies f(x)\leqslant f(y)

Posté par
mousse42re : Fonction non monotone 29-12-18 à 11:56

Salut

Toujours le chapitre 0, , raisonne en terme d'ensembles

F l'ensemble des fonctions de R dans R
M l'ensemble des fonctions de F qui sont monotones
M_s l'ensemble des fonctions de F qui sont strictement monotones.

On a clairement M_s\subset M \subset F

Posté par
carpediemre : Fonction non monotone 29-12-18 à 12:33

salut

la dérivée change de signe donc la fonction n'est pas monotone ...

Posté par
Ramanujanre : Fonction non monotone 29-12-18 à 13:09

@Mousse

Une usine à gaz pour rien non ? En plus je saurais pas faire votre méthode ensembliste alors que celle avec les quantificateurs je sais quoi faire.
Le livre propose d'utilisé la propriété avec les quantificateurs d'une fonction non monotone.

@Carpediem
Je suis d'accord mais l'esprit de l'auteur est de faire utiliser la définition avec les quantificateurs.

Posté par
Ramanujanre : Fonction non monotone 29-12-18 à 13:18

@Luzak

J'ai fait une erreur d'étourderie, je voulais mettre fonction monotone (pas strictement).

Une fonction est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.

La négation de ça c'est bien : (f n'est pas croissante) ET (f n'est pas décroissante)

Concernant :
\forall(x,y)\in K^2,\;x<y\implies f(x)\leqslant f(y) ou
\forall(x,y)\in K^2,\;x\leqslant y\implies f(x)\leqslant f(y)


Une fonction croissante vérifie :
\forall(x,y)\in K^2,\;x\leqslant y\implies f(x)\leqslant f(y)

Mais vu que : x < y \Rightarrow x \leq y elle vérifie aussi :
\forall(x,y)\in K^2,\;x<y\implies f(x)\leqslant f(y)

Posté par
Ramanujanre : Fonction non monotone 29-12-18 à 13:20

Mousse je veux juste montrer que cette fonction là n'est pas monotone , pourquoi parlez vous de l'ensemble des fonctions ?

Posté par
lionel52re : Fonction non monotone 29-12-18 à 13:22

Bah tu as tout dit, faut trouver des points où tu as ce que tu veux
Et le meilleur moyen de trouver des points où tu as ce que tu veux c'est d'ESSAYER


Allez allez va au bout de tes idées... Tu testes 2 3 points ça te prendra moins de temps que de poster un sujet sur le forum...

Posté par
mousse42re : Fonction non monotone 29-12-18 à 13:50

Ramanujan @ 29-12-2018 à 13:20

Mousse je veux juste montrer que cette fonction là n'est pas monotone , pourquoi parlez vous de l'ensemble des fonctions ?



Pour éviter d'écrire :

Citation :
Donc une fonction non strictement monotone n'est pas croissante ET n'est pas décroissante.

Posté par
Ramanujanre : Fonction non monotone 29-12-18 à 13:51

f(x)=x^3 - x +1

f(0)= 1
f(\dfrac{1}{2})= \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} +1 =\dfrac{5}{8} < 1

J'ai 0  \leq 1 et f(0) > f(1)

f(1)= 1
f(\dfrac{1}{2})= \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} +1 =\dfrac{5}{8} < 1

J'ai \dfrac{1}{2} \leq 1 et f(\dfrac{1}{2}) < f(1)

Conclusion : f n'est pas monotone.

Pour la 2 :

Les fonctions: g(x)= x^3 et h(x)= 1-x sont monotones car g est croissante et h décroissante.

On remarque que : f(x)=g(x) + h(x)

On a trouvé un contre exemple, donc la somme de 2 fonctions monotones n'est pas forcément monotone.

Posté par
Ramanujanre : Fonction non monotone 29-12-18 à 13:57

@Mousse

NON ( (f croissante ou f décroissante) = NON(f croissante) ET NON(f décroissante)

J'ai fait une erreur d'inattention avec le strictement, je voulais écrire : une fonction non monotone n'est pas croissante et n'est pas décroissante. En utilisant les quantificateurs je retombe sur la définition du livre qui est donnée sans explication (j'ai redémontré) :

Pour montrer que f n'est pas monotone il suffit d'exhiber un :
x \in X et un y \inY tel que : x \leq y et f(x) > f(y)
x' \in X et un y' \inY tel que : x' \leq y' et f(x') < f(y')

Posté par
carpediemre : Fonction non monotone 29-12-18 à 14:36

quel stupide formalisme ...

Posté par
Ramanujanre : Fonction non monotone 29-12-18 à 15:33

C'est bien de faire travailler la logique et les quantificateurs en début de bouquin.
Même si c'est beaucoup plus simple avec le tableau de variation.


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