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fonction non uniformément continue
bonsoir,
je recherche une fonction qui soit continue sur [a;+inf[, qui admette une limite finie en +inf, mais qui ne soit pas uniformément continue sur [a;+inf[, est-ce que ca existe ?
bonsoir !
non,
on peut montrer qu'une fonction continu sur a..+oo qui a ne limite finit en +oo est uniformement continu de la meme manière qu'une fonction continu sur un segment est uniformement continu
... ou bien on peut aussi ce ramener au cas continuité sur un segment :
soit f, continu sur R+ (par exemple) ayant une limite L finit en +oo
alors la fonction g definit par g(x)=f(tan(x)) si x est dans 0.. Pi/2 exclue , g(Pi/2) =L est continu sur [0,Pi/2], donc uniformement continu que [0,Pi/2].
de plus arctan(x) est Lipschitzienne (dervié <1, donc accroissement finit..) donc uniformement continu donc f=g(arctan(x)) est uniformement continu...
PS : et puis si je me suis tompé... essaye avec une fonction genre sin(exp(x))/x elle est non lipschitzienne, peut-etre qu'elle est pas uniformement continu...
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