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Niveau terminale
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fonction nulle

Posté par
suaarez
03-10-16 à 17:55

Bonjour ,svp pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice?  :
Soit f une fonction continue sur [0;1] tel que f (x/2)+f ((x+1)/2)=3f (x) pour tout x compris entre 0 et 1 . Montrez que f est une fonction nulle ( f (x)=0) .

Merci d'avance

Posté par
luzak
re : fonction nulle 03-10-16 à 18:18

Bonsoir !
Utilises un point af atteint son maximum M et tu peux alors minorer M+f(a/2) par 3f(a).

Posté par
suaarez
re : fonction nulle 03-10-16 à 18:32

Bonsoir , comment puis je minorer f (a/2) + M par 3 f (a) ?

Posté par
luzak
re : fonction nulle 03-10-16 à 18:47

Un peu d'initiative :
M+f(a/2)\geqslant f(\dfrac{a+1}2)+f(a/2)
Attention, il ya une remarque préalable à faire.

Posté par
suaarez
re : fonction nulle 03-10-16 à 18:55

J'ai trouvé f (a/2) > 2M ce qui n'est pas possible sauf si M est négatif

Posté par
suaarez
re : fonction nulle 03-10-16 à 19:05

J'ai refait la même chose en posant f (b) =m et j'ai trouvé m > 0  donc on déduit que M =m =0 . Merci pour ton aide

Posté par
luzak
re : fonction nulle 03-10-16 à 23:23

suaarez @ 03-10-2016 à 18:55

J'ai trouvé f (a/2) > 2M ce qui n'est pas possible sauf si M est négatif

Il faudrait apprendre que les inégalités strictes doivent se mériter. Dans ton cas c'est une inégalité large ce qui implique M\geqslant2M donc M=0.
Idem pour la borne inférieure : tu ne peux aucunement justifier ton inégalité stricte.

Posté par
luzak
re : fonction nulle 03-10-16 à 23:25

Et tu as oublié de justifier tes calculs : rien n'est valable si les images sont calculées sur des réels en dehors de l'intervalle donné initialement.

Posté par
suaarez
re : fonction nulle 03-10-16 à 23:56

J'ai justifié les calculs quand j'ai rédigé sur une feuille , et j'ai écris
2M <M----> M <0
Je ne sais pas comment écrire inférieure ou égale avec mon clavier .  Sinon ça veut dire quoi inégalité stricte ?

Posté par
luzak
re : fonction nulle 04-10-16 à 08:15

a<b cela veut dire a est plus petit que b ET différent de b
a\leqslant b veut dire a plus petit que b OU égal à b
Si tu n'utilises pas LATEX tu peux mettre a<=b (se lira a inférieur (ou égal) à b).

Tu n'as toujours pas justifié tes démonstrations...

De mon côté, mea culpa : M\geqslant2M implique M\leqslant0 (pas l'égalité).

Enfin une remarque : la considération de f(b)=m est inutile car g=-f vérifie la relation fonctionnelle donc le maximum de g (qui est l'opposé du minimum de f) est négatif donc le minimum de f positif.

Posté par
suaarez
re : fonction nulle 04-10-16 à 20:27

Ah oui c'est vrai . Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fonction nulle 04-10-16 à 21:00

Bonjour,
Une remarque non mathématique mais d'ordre pratique pour écrire ici sans Latex :
Il y a un bouton sous le cadre où l'on écrit ; il est juste à côté du bouton LTX, et il donne accès à plein de symboles.

Sinon j'ai trouvé l'exercice intéressant. Je me demandais comment utiliser la continuité

Posté par
suaarez
re : fonction nulle 04-10-16 à 23:13

Merci

Posté par
luzak
re : fonction nulle 04-10-16 à 23:48

Bonsoir Sylvieg !
Ce qui est encore plus intéressant c'est de mettre 2f(x) au lieu de 3f(x) .
On trouve une fonction constante mais la manipulation de la continuité (sans aucune indication supplémentaire) devient trop difficile pour le niveau Terminale.



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