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Fonction plusieurs variables

Posté par Eos (invité) 07-12-06 à 18:43

Bonjour tout le monde,


Voilà j'ai un problème sur un exo de maths.

Et je ne suis pas sûr de ce que j'écris. Si vous pouviez me dire si c'est juste, ça serait sympa.

Soit f la fonction continue sur IR. Pour tout (x,y) de IR², x \neq 0 on pose:

g(x,y) =4$\frac{\int_x^{xy} f(t) dt}{x}

Montrer que ge peut être prolongée en une fonction continue sur IR².

Voilà ce que je fais:

f continue, donc elle admet une primitive F


g(x,y) =4$\frac{F(xy)-F(x)}{x}

d'où:\lim_{x\to 0}g(x,y)=0 car le nominateur est zéro puisque F est continue, il ne tend pas vers 0 mais vaut 0, ce n'est donc pas une forme indéterminée.

Est-ce que mon raisonnement est juste ?

Merci d'avance.

Eos

Posté par
franzre : Fonction plusieurs variables 08-12-06 à 02:56

Le problème se pose en x=0.

D'après le théorème de la moyenne

\exists c\in[x,xy]\;\;tq\;\;\Bigint_x^{xy}f(t)dt=f(c)(xy-x)=f(c)x(1-y)
ou encore
\exists c\in[x,xy]\;\;tq\;\;g(x,y)=\frac{\Bigint_x^{xy}f(t)dt}x=f(c)(1-y)


Comme f est continue sur \mathbb R       f(c)\relstack{\longrightarrow}{x\to 0}f(0)

Par conséquent
      3$g(x,y)\relstack{\longrightarrow}{x\to 0}f(0)(1-y)

Posté par
veledare:fonctions de plusieurs variables 08-12-06 à 13:01

bonjour,
>>franz,il y a une petite erreur c'est f(c)(y-1)

>>Eos pour utiliser ce que tu as fait
on peut aussi ecrire g(x,y)=[F(xy)-F(0)]/x-[F(x)-F(0)]/x et chercher la limite quand x->0
attention,la dérivée en x=0 de F(xy) c'est yf(0) mais c'est moins élégant

Posté par Eos (invité)re : Fonction plusieurs variables 08-12-06 à 17:31

Merci beaucoup.

Je vais pouvoir continuer mon exo.


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