Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Fonction plusieurs variables
Au secours svp..
on définit un ouvert (]0,+
[)n
et f la fonction f(X)=ln(x1 +....+xn) -(x1²+...+xn²)/2
on demande
a) montrer que f est de classe C² et qu'elle admet un point critique unique C qu'on déterminera.
b) étudier l'existence d'un point d'extremum local (chercher les valeurs propres de la hessienne)
c) y a t il un extremum global?
je bloque à la question a) qui m'enpeche de faire la suite.
Pour C² pas de problèmes, pour la détermination du point critique, je calcule les dérivés partielle d'ordre 1.
(x1....,xn) est un point critique si ces dérivées sont nulles
on troue donc:
x1= 1/(x1+...+xn)
..
xn=1/(x1+...+xn)
le pb est que dire que C=(x1,...,xn) n'avance pas à grand chose
Pourriez m'indiquer ce qu'il faut faire?
Bonjour.
La dérivée partielle par rapport à xi donne :
Le système à résoudre est donc :
En ajoutant ces n équations :
Donc :
.
En reportant dans les équations :
A plus RR.
merci bcp pour la réponse.
J'ai un autre problème pour la question b)
Si j'utilise la méthode de Gauss, avec la matrice hessienne de f au point c), j'obtiens des calcules trop lourds.
Je suppose qu'on veut prouver que les valeurs propres sont soient strictement positives, soient strictement négatives pour pouvoir conclure sur l'extremum local par la valeur de la forme quadratique?
J'étudie f au voisinage de a = ( , ... ,
)
Je pose h = (h1 , ... , hn)
Après quelque calculs j'obtiens (à vérifier)
Ceci prouve que la différence f(a + h) - f(a) est négative autour de a : a est un maximum.
Tu me parles de valeurs propres de la hessienne, mais, sauf erreur de ma part, ce n'est possible que lorsque les deux espaces ont même dimension. Or, ici, on va de Rn vers R.
A plus RR.
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac