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Fonction plusieurs variables
Bonsoir , j'ai l'exercice suivant : On considère la fonction de 2 variables f définie par :
f(x,y) = V((1-x²)(1-y²))
1) Donner le domaine de définition de f .
Une racine étant toujours strictement supérieure à 0 , les 2 termes doivent etre positifs car V(a*b) = V(a) * V(b) . On peut pas dire les 2 négatifs car V(a) et V(b) séparément doivent etre positifs , malgré que le produit de 2 négatifs donnent un positif .
Donc x² < 1 , x compris entre -1 et 1 .
y² < 1 , donc y compris entre -1 et 1 .
C'est le carré central du repère le domaine de définition .
2)Donner l'équation du plan tangent au point (V2,V2,1) .
Alors ici c'est très intéressant , je pars de ceci :
z = f(a,b) + (x-a) df/dx (a,b) + (y-b) df/dy (a,b)
df/dx = -x V(1-y²)/V(1-x²)
df/dy = -y V(1-x²) / V(1-y²)
si je prends les valeurs V2 , je peux pas calculer les dérivées car on se retrouve avec des termes négatifs sous les racines , mais comme V(1-x²) = V(1-y²) , j'ai supprimé les 2 termes , pour finalement arriver à cette équation :
z = 1 + (x - V2)* (-V2) + (y - V2)*(-V2) , je trouve :
-xV2 - yV2 - z + 5 = 0 .
Que pensez vous de mes réponses ?
merci bcp de votre aide .
Bonsoir, severinette
L' égalité n'est vraie que si
et
. Si ces deux termes sont négatifs, l'égalité est fausse, puisque
existe et
n'existe pas.
Dans ton domaine de définition, il faut rajouter les valeurs de (x,y) pour lesquelles et
. (et justement, le point
vérifie ces inégalités)
De plus:
(il ne faut pas simplifier, ce n'est pas possible, ou c'est compliqué)
Donc:
.... etc
REre severinette 
1)Mauvaise analyse de la situation, c'est le signe du produit qu'il faut examiner,on n'a pas du tout besoin que chaque facteur soit positif.Donc les deux sont soit simultanément positifs, soit simultanément négatifs.
2)Tes dérivées sont fausses, pour y > 0 et x > 0, la dérivée en x est x V(y²-1)/(V[(x²-1)(y²-1)] = x/V(x²-1) pour tout (x,y) de l'ensemble des points où f admet des dérivées partielles en x et y, donc pas de problème.
ok perroquet j'ai cafouillé pour le calcul de la dérivée , mon domaine de def est bon et j'ai compris la méthode , merci à toi .
tig là je suis pas d'accord avec toi ( meme si t'es bcp plus fort ) , mais les 2 produits négatifs ne sont pas possibles , vu que les racines doivent etre positives , là je suis plutot d'acc avec perroquet , alors qui a raison ? lol
perroquet et moi disons la même chose, il te dit que la formule n'est valable que pour a et b positifs, pas qu'on ne peut pas définir
si a et b sont tous deux négatifs!
Et justement on le peut, puisque si a et b sont négatifs, on a:
donc ça nous fait comme contrainte :
1-x² < 1
1-x² > 1
1-y² < 1
1+y² > 1
c'est le plan entier le domaine de definition alors ?
Non, les conditions sont:
(1-x² positif et 1-y² positif) ou (1-x² négatif et 1-y² négatif),
soit (x et y entre -1 et 1 tous les deux) ou (x et y à l'extérieur de [-1;1] tous les deux).
C'est le plan privé du rectangle de base [-1;1] et de "hauteur" ]1;+[ , ainsi que ses 3 images par les quarts de tour de centre l'origine.
non mais c'est pas logique lol , on a dit :
soit x et y compris entre -1 et 1 , c'est le carré central tu es d'accord ?
soit x et y à l'extérieur de -1,1 , c'est tout autour ...
Non, dans le deuxième cas ce n'est pas tout autour, c'est le plan privé d'une bande verticale de largeur 2, et d'une bande horizontale de largeur 2.
Le point (0;2) n'y est pas par exemple, puisque la première composante est dans [-1;1] mais pas la deuxième.
ah oui !!!!!!!!!!!!!!! j'ai réussi à voir , quelle étourdie que je suis , merci perroquet et tigweg pour toute votre aide dans cet exo passionnant
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