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Fonction polinome de la variable complexe z

Posté par Keldou (invité) 22-03-05 à 14:39

Bonjour,

Soit

 P(z) = z^3 - ( 5 + 3i )z^2 + (6 + 10i )z - 8i

Si z est une racine reelle de p(z) on a :

 z^3 = 5z^2 - 6z
et  3z^2 - 10z +8 = 0

Ma question : Comment le demontrer ?

Merci

Posté par
isisstruiss
re : Fonction polinome de la variable complexe z 22-03-05 à 14:47

Si z est une racine de P on a
P(z)=z^3-(5+3i)z^2+(6+10i)z-8i=0

Si de plus z est réel, z2 et z3 sont réels également. Si on sépare des parties réelles et imaginaires de P(z) on a
Re(P(z))=z^3-5z^2+6z=0\\ Im(P(z)=-3z^2+10z-8=0

La suite sera plutôt facile.

Isis

Posté par Keldou (invité)re : Fonction polinome de la variable complexe z 22-03-05 à 15:07

Oui en fait ca j'avais trouve

Ce que je ne comprend pas c'est que z est une racine reelle

Donc moi je pensais que pour la partie Re(P(z)) cela donnais bien ca

Mais pourquoi y a t il une partie imaginaire

Pour etre plus precis on nous donne l'expression de P(z)
et on nous demande de repondre par vrai ou faux a ces affirmation

(A)Si z est une racine reelle de p(z) on a  z^3 = 5z^2 -6z

(B)Si z est une racine reelle de p(z) on a  3z^2 - 10z + 8 =0

J ai repondu vrai pour la premiere et faux alors qu elle sont vrai toutes les 2

une racine qui est reelle ne prend pas juste la partie reelle en consideration ?

(oulala je me sens perdu la )

Posté par
isisstruiss
re : Fonction polinome de la variable complexe z 22-03-05 à 15:18

Si P(z)=0, alors Im(z)=0 et Re(z)=0.
Ceci est vrai pour n'importe quels z dans .
C'est plutôt facile à voir si tu te dis que 0=0+0i. Re(0+0i)=0 et Im(0+0i)=0.

Si z est complexe, il a en général une partie complexe et une partie imaginare. Très probablement z² et z³ auront aussi des parties réelles et imaginaires non-nulles, alors cette séparation devient beaucup plus dure à faire. Ce serait du genre
Re(P(z))=Re(z^3)-5Re(z^2)+6Re(z)=0\\ Im(P(z))=-3Im(z^2)+10Im(z)-8=0

Les cas les plus simples sont lorsque z est purement réel (Im(z)=0) ou lorsque z est purement imaginaire (Re(z)=0).

J'espère que tu as mieux compris maintenant.

Isis

Posté par
isisstruiss
re : Fonction polinome de la variable complexe z 22-03-05 à 15:24

Bon, l'explication n'était pas mauvaise, mais là où j'ai dit "Ce serait du genre..." c'est plus compliqué encore. Voilà l'equation correcte dans ce cas là:
Re(P(z))=Re(z^3)-Re((5+3i)z^2)+Re((6+10i)z)=0\\ \Rightarrow Re(P(z))=Re(z^3)-5Re(z^2)+3Im(z^2)+6Re(z)-10Im(z)=0

Mais bon, tu n'est pas obligé de bien comprendre ceci pour bien réussir ton exercice.

Isis

Posté par Keldou (invité)re : Fonction polinome de la variable complexe z 22-03-05 à 15:52

Merci je comprend maintenant, c'est plus clair dans mon esprit



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