Bonjour,
je souhaite integrer une école d'audioprothésiste. Cependant il y a un concours d'entrée niveau Première-Terminale S. Il n'y a pas de correction d'annales et sur le sujet de 2014 je ne sais pas comment faire :
Résoudre dans ℂ l'équation d'inconnue 𝑥 suivante :
E1 : , où 𝜃 est un paramètre réel.
On exprimera les solutions sous forme trigonométrique.
Non je n'y avais pas pensé, merci ^^
Doit on prendre cos(theta) dans le "b" ? Et une fois qu'on a x1 et x2, on doit faire la racine cubique ?
la racine cubique c'est à la fin.
essayez d'abord d'arriver à X=...Attention dans
ensuite racine cubique dans
Peut on faire sans calculatrice ? Car lors du concours d'audioprothésiste, la calculatrice n'est pas autorisée, donc la racine cubique de tête je ne sais pas trop faire..
Mais non, pas de calculatrice
Ecrivez d'abord le discriminant et les 2 racines X1 et X2 comme si dans
le discriminant est facile et le - devant un carré se remplace par i2
re-bonjour,
il vous faut donc réviser sérieusement le des équations du second degré
et la différence entre cos2() et cos(2)
, où 𝜃 est un paramètre réel.
Je vous laisse écrire les 2 solutions , toutes deux de module 1,
et les 6 solutions en x qui s'en déduisent, différentiées par leur argument
Pirho Merci de votre réponse, mais vous n'avez pas oublié un x lors de la deuxième égalité ?
Et je n'ai pas vraiment compris le [(x^3-cos(theta)]^2-cos^2(theta)+1=0
Suite depuis le 28-03-17 à 12:35
X=(2cos()2isin())/2 = cos()isin()
Les 6 solutions sont donc, à 2k près :
, +2/3, +4/3
-, -+2/3, -+4/3
Ce sont les arguments des 6 x imaginaires de module 1 qui sont solutions
(Ce que donne bien aussi la suite de ce qui est proposé par Pirho)
les 3 premiers termes correspondent au développement du carré
en soustrayant le cos² tu retrouves bien l'expression de départ
Ah oui, Pirho, j'ai compris merci ^^.
Par contre je ne vois pas pourquoi on a le i dans le X1 et 2 final..
Quelqu'un pourrait me détailler le raisonnement svp ? Je ne vois pas où est mon erreur..
Surement en répétant certaines choses déjà dites.
Poser x³ = X
X² - 2.cos(theta).X + 1 = 0
Delta = 4(cos²(theta) - 1) = -4.sin²(theta) <= 0 --> Delta = 4.i².sin²(theta)
X = [2.cos(theta) +/- 2i.sin(theta)]/2
X = cos(theta) +/- i.sin(theta)
X1 = e^(i.theta)
X2 = e^(-i.theta)
x1³ = e^(i.(theta + 2.k.Pi))
x2³ = e^(i.(-theta + 2.k.Pi))
x1 = e^(i.(theta/3 + 2k.Pi/3)) = cos(theta/3 + 2k.Pi/3)) + i.sin(theta/3 + 2k.Pi/3))
x2 = e^(i.(-theta/3 + 2k.Pi/3)) = = cos(-theta/3 + 2k.Pi/3)) + i.sin(-theta/3 + 2k.Pi/3))
On a les 6 solutions en remplaçant k par 0, 1 ou 2 dans les 2 lignes ci-dessus.
Sauf distraction.
Merci vham et J-P pour vos réponses, mais la formule pour trouver les X quand Delta est négatif n'est pas avec le i devant la racine de Delta ?
Les theta et theta + 2kPi je comprend mais pourquoi les "+ ou - theta/3" dans les x1 et 2 ?
Encore merci de votre aide
Bonjour,
-->theo10
-->theo10 : racine cubique (ou n ième)
Soit sur le cercle trigonométrique un complexe cos()+icos()
Son argument c'est +2k, k
son argument c'est donc aussi bien que +2 que +4 que ....
Prendre la racine cubique c'est diviser son argument par 3.
(d'après la règle dans : l'argument d'un produit c'est la somme des arguments)
le résultat c'est donc aussi bien /3 que /3+2/3 que /3+4/3 que ....il y a 3 racines cubiques distinctes.
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