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Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie

Posté par
theo10 28-03-17 à 11:06

Bonjour,
je souhaite integrer une école d'audioprothésiste. Cependant il y a un concours d'entrée niveau Première-Terminale S. Il n'y a pas de correction d'annales et sur le sujet de 2014 je ne sais pas comment faire :

Résoudre dans ℂ l'équation d'inconnue 𝑥 suivante :

E1 :  x^6-2\times \cos (\theta )\times x^3 +1=0 , où 𝜃 est un paramètre réel.

On exprimera les solutions sous forme trigonométrique.

Posté par
vhamre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 11:12

Bonjour,

Avez-vous pensé à exprimer X=x3, puis équation du second degré ?

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 11:15

Non je n'y avais pas pensé, merci ^^
Doit on prendre cos(theta) dans le "b" ? Et une fois qu'on a x1 et x2, on doit faire la racine cubique ?

Posté par
vhamre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 11:22

la racine cubique c'est à la fin.
essayez d'abord d'arriver à X=...Attention dans
ensuite racine cubique dans

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 11:25

Peut on faire sans calculatrice ? Car lors du concours d'audioprothésiste, la calculatrice n'est pas autorisée, donc la racine cubique de tête je ne sais pas trop faire..

Posté par
vhamre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 11:33

Mais non, pas de calculatrice
Ecrivez d'abord le discriminant et les 2 racines X1 et X2 comme si dans
le discriminant est facile et le - devant un carré se remplace par i2

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 11:49

\Delta = -2\cos (\theta ) - 4\times 1\times 1
\Delta = 4\cos (2\theta ) - 4
\Delta = 4(\cos (2\theta ) - 1)
?

Posté par
vhamre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 12:35

re-bonjour,
il vous faut donc réviser sérieusement le des équations du second degré
et la différence entre cos2() et cos(2)

X^2-2\times \cos (\theta )\times X +1=0 , où 𝜃 est un paramètre réel.

\Delta=4cos^2(\theta)-4=4i^2(1-cos^2(\theta])=4i^2sin^2(\theta)

Je vous laisse écrire les 2 solutions X_1\ et\ X_2, toutes deux de module 1,
et les 6 solutions en x qui s'en déduisent, différentiées par leur argument

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 13:35

X1= \frac{(2 cos(\theta )-i\sqrt{4i^{2}\sin ^{2}(\theta )})}{2}

X2=\frac{(2 cos(\theta )+i\sqrt{4i^{2}\sin ^{2}(\theta )})}{2}

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 13:38

X1 = \cos (\theta) + \sin (\theta )

X2 = \cos (\theta)- \sin (\theta )

Posté par
Pirhore : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 15:26

Bonjour,

on pouvait aussi écrire

x^6-2x^3 cos(\theta)+1=0

[x^3-cos(\theta)]^2-cos^2(\theta)+1=0

[x^3-cos(\theta)]^2+sin^2(\theta)=0

[x^3-cos(\theta)]^2-i^2sin^2(\theta)=0

a²-b²=(.....)(.....)
....

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 15:42

Pirho Merci de votre réponse, mais vous n'avez pas oublié un x lors de la deuxième égalité ?
Et je n'ai pas vraiment compris le [(x^3-cos(theta)]^2-cos^2(theta)+1=0

Posté par
vhamre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 16:04

Suite depuis le  28-03-17 à 12:35

X=(2cos()2isin())/2 = cos()isin()
Les 6 solutions sont donc, à 2k près :
, +2/3, +4/3
-, -+2/3, -+4/3

Posté par
vhamre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 16:08

Ce sont les arguments des 6 x imaginaires de module 1 qui sont solutions
(Ce que donne bien aussi la suite de ce qui est proposé par Pirho)

Posté par
Pirhore : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 16:36


x^6-2x^3 cos(\theta)+1=0

[x^3-cos(\theta)]^2-cos^2(\theta)+1=0==> x^6-2x^3cos(\theta)+cos^2(\theta)-cos^2(\theta)+1

les 3 premiers termes correspondent au développement du carré

en soustrayant le cos² tu retrouves bien l'expression de départ

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 28-03-17 à 17:40

Ah oui, Pirho, j'ai compris merci ^^.
Par contre je ne vois pas pourquoi on a le i dans le X1 et 2 final..
Quelqu'un pourrait me détailler le raisonnement svp ? Je ne vois pas où est mon erreur..

Posté par
vhamre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 29-03-17 à 10:49

Bonjour,

Revoir l'intervention du 28-03-17 à 12:35

X^2-2X\cos (\theta ) +1=0
\Delta=4cos^2(\theta)-4=4i^2(1-cos^2(\theta])=4i^2sin^2(\theta),     donc     \pm\sqrt\Delta=\pm 2isin(\theta) \\
X=\frac{2cos(\theta)\pm\sqrt\Delta}{2}=\frac{2cos(\theta)\pm 2isin(\theta)}{2}=cos(\theta)\pm isin(\theta)

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 29-03-17 à 10:57

On m'a toujours appris que la formule était :
X=\frac{-b\pm i\sqrt{\Delta }}{2a}

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 29-03-17 à 11:14

Surement en répétant certaines choses déjà dites.

Poser x³ = X

X² - 2.cos(theta).X + 1 = 0

Delta = 4(cos²(theta) - 1) = -4.sin²(theta) <= 0 --> Delta = 4.i².sin²(theta)

X = [2.cos(theta) +/- 2i.sin(theta)]/2

X = cos(theta) +/- i.sin(theta)

X1 = e^(i.theta)
X2 = e^(-i.theta)

x1³ = e^(i.(theta + 2.k.Pi))
x2³ = e^(i.(-theta + 2.k.Pi))

x1 = e^(i.(theta/3 + 2k.Pi/3)) = cos(theta/3 + 2k.Pi/3)) + i.sin(theta/3 + 2k.Pi/3))
x2 = e^(i.(-theta/3 + 2k.Pi/3)) = = cos(-theta/3 + 2k.Pi/3)) + i.sin(-theta/3 + 2k.Pi/3))

On a les 6 solutions en remplaçant k par 0, 1 ou 2 dans les 2 lignes ci-dessus.

Sauf distraction.  

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 29-03-17 à 11:31

Merci vham et J-P pour vos réponses, mais la formule pour trouver les X quand Delta est négatif n'est pas X=\frac{-b\pm i\sqrt{\Delta }}{2a} avec le i devant la racine de Delta ?


Les theta et theta + 2kPi je comprend mais pourquoi les "+ ou - theta/3" dans les x1 et 2 ?

Encore merci de votre aide

Posté par
vhamre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 29-03-17 à 11:37

Bonjour,

-->theo10

Citation :
On m'a toujours appris que la formule était :
X=\frac{-b\pm i\sqrt{\Delta }}{2a}

Dans surement pas !!! le i n'existe pas et quand est négatif, on dit PAS de RACINE.
Dans alors peut être réel ou complexe.
Ce n'est que si est négatif réel que l'on écrit X=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a} (remarquez bien le - devant ,
sinon on calcule les complexes . Il y en a deux dont les arguments diffèrent de

Posté par
vhamre : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 29-03-17 à 11:58

-->theo10 : racine cubique (ou n ième)
Soit sur le cercle trigonométrique un complexe cos()+icos()
Son argument c'est +2k, k
son argument c'est donc aussi bien    que   +2   que   +4 que ....

Prendre la racine cubique c'est diviser son argument par 3.
(d'après la règle dans : l'argument d'un produit c'est la somme des arguments)

le résultat c'est donc aussi bien /3   que   /3+2/3   que   /3+4/3 que ....il y a 3 racines cubiques distinctes.

Posté par
theo10re : Fonction polynôme, nombres complexes et trigonométrie 29-03-17 à 12:00

Citation :
Citation :
On m'a toujours appris que la formule était :
X=\frac{-b\pm i\sqrt{\Delta }}{2a}

Dans surement pas !!! le i n'existe pas et quand est négatif, on dit PAS de RACINE.


Oui bien sur, je parlais dans C..
Mais oui j'a oublié le moins devant le delta, c'est la qu'est mon erreur ^^


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