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Fonction polynômiale de plusieurs variables.
Bonsoir,
un petit exercice que j'ai rencontré récemment dont j'ai beaucoup de mal à trouver une solution!
On considère une fonction de dans
dont toutes les applications partielles sont polynômiales. Montrer que notre fonction est polynômiale.
Auriez-vous des idées?
Merci
Salut,
ça me paraît évident en utilisant le résultat (trivial) selon lequel une fonction réelle de
variables est un polynôme si et seulement si, pour chaque indice
, il existe un entier
tel que
Salut tigweg
Merci de ta réponse, cependant effectivement c'est trivial avec ce résultat, mais au final l'énoncé de ce résulat c'est quasiment la même chose que mon exercice (puisque le fait que les dérivées partielles soient nulle est équivalent au fait que les applications partielles soient polynômiales.
Ce que je cherche donc, c'est une preuve de ton résultat.
Si si, je pense que c'est bon finalement.
Par l'absurde, supposons qu'il existe une fonction de deux variables (pour simplifier) vérifiant la condition écrite dans mon message précédent mais qui ne soit pas un polynôme de x et de y.
Alors il existe une valeur u de x telle que la fonction de y associée ne soit pas un polynôme de y, ou le contraire.
Or il existe un entier p tel que la dérivée partielle p-ème de f selon la deuxième variable soit la fonction nulle, ce qui entraîne qu'à x=u, l'application qui à y associe f(u,y) soit un polynôme de y, contradiction.
Je suis sceptique.
Car alors on démontrerait mon résultat ainsi :
Supposons f non polynômiale. Alors il existe un u tel que f(u,y) ne soit pas un polynôme en y. Contradiction avec le fait que toutes les applications partielles soient polynômiales.
C'est très bizarre pour un oral d'ULM 
Je crois avoir saisi le problème :
Tu dis que si on suppose que f n'est pas polynômiale, alors il existe une valeur u de y telle que f(u,y) ne soit pas polynômiale. C'est à dire qu'il existe une application partielle qui ne soit pas polynômiale.
C'est la contrapposée de ce que l'on veut montrer!
Salut,
Moi j'utiliserai bien de l'homogénéité pour montrer ça....La resultat doit pas etre trop dur a prouver si l'on suppose en plus la fonction homogène non? Ensuite il faut se ramener au cas homogène et vois que ta fonction est somme de fonctions homogènes de degré différent...Bon c'est juste une idée...en tout cas la première idée qui m'est venue....a voir....
Je viens de me rendre compte que j'avais mal lu ton énoncé:
j'avais lu "dérivées partielles" au lieu d'"applications partielles".
En fait, j'avais utilisé le résultat que tu as à montrer comme une évidence, mais en effet ce n'est pas si clair que cela, à bien y réfléchir:
quand on suppose, par l'absurde, que f n'est pas un polynôme, tout ce qu'on peut dire, c'est que f ne s'écrit pas comme une somme de termes de la forme , pas qu'il existe une valeur de u telle que f(u,y) ne soit pas un polynôme de y.
Désolé! 
Ben....oui l'exo en lui même est une inversion de quantificateur....
JE donne vite fait les idées de ma methode.
D'abord on pourve le resultat si f est homogène de degré d, c'est tres simple.
Ensuite on homogéneise al fonction de la façon suivante (disons pour R² pour fixer les idées), on rajoute une variable z et on considère la fonction g de R^3 dans R définie par g(x,y,z)=z^d f(x/z,y/z)
Si cette fonction est bien définie alors elle est homogène et on a le resultat...
Reste a prouver qu'il existe d tel que g soit bien définie...C'est a dire que si 'lon regarde le degré en x à y fixé ben ce degre peut être borné indépendamment de y et de même en inversant y et x.
La solution dans le cas n=2:
(exo 2.1) La généralisation ne devrait pas être très compliquée. Tout repose sur le fait que R est indénombrable.
OK j'ai demontré que le degre était localement uniformément bornée , c'est a dire que sur chaque carré disons [n,n+1]x[m,m+1] le degré en x des polyomes à y fixé pouviat etre borné uniformement en y et de même dans l'autre sens...ON doit etre pas loin...
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