salut

oui distinguer deux cas ...

ensuite un cas est trivial puisque f est continue et même C^oo

deuxième cas ...

Bonsoir,
ton idée est bonne.
Soit I un intervalle,
    si 0I f(I) est un intervalle en vertu de théorèmes classiques ;
    si 0I f(I)=[-1 ; 1].

Bonjour, je ne comprend pourquoi il faut l'intervalle [-1,1] si 0 n'appartient pas à I.

Merci d'avance

Bonjour MaxMin.

On n'a pas nécessairement f(I) = [-1,1] si 0 I

Tu cherches l'image par f de tout intervalle I, quelle que soit sa nature : ouvert, fermé, ou autre ...
D'après la définition de f, tu vois qu'il y a un soucis avec le point 0 de son domaine de définition.
Tout d'abord, est-ce que tu connais l'allure du graphe de f (qu'on appelle graphe "courbe sinus du topologue" : ) ?

Pour répondre effectivement, précisément à l'énoncé, tu dois considérer tous les types possibles d'intervalles, et selon qu'ils contiennent 0 ou non :

1/ Les intervalles ouverts :

- ne contenant pas zéro : ils sont de la forme avec ou l'inverse .
L'image de tels intervalles ne pose aucun problème puisque f est continue sur iceux. Donc l'image est un intervalle

- contenant 0 : ils sont de la forme ]a,b[ avec leur image est [-1,1] ... pourquoi ? Il contiennent tous l'intervalle de la forme ]0,b[ donc ... et de plus f(0) = 0

2/ Les intervalles fermés

- ne contenant pas zéro : ils sont de la forme [a,b] avec ou l'inverse .
L'image de tels intervalles ne pose aucun problème puisque f est continue sur iceux. Donc l'image est un intervalle.

- contenant 0 : ils sont de la forme [a,b] avec et là, tu peux redistinguer plusieurs cas

* a = b = 0 : f([a,b]) = {0}
* a < 0, b 0 et alors [a,b] contient un intervalle de la forme ]a,0[ et retour aux intervalles ouverts
* etc