Niveau Reprise d'études

fonction quadratique généralisé, convexité, minimiseur

Posté par
Jepoti213 10-05-21 à 04:29

Bonsoir, je suis en train de faire cette exercice et cherche à savoir si j'ai bon.
Soit f : $R$ $R^2$
              (x,y) $x^2 +4y^2-3x+y+1$

1) Justifier qu'il s'agit d'une fonction quadratique généralisée.
2) Est-elle convexe ? Strictement convexe ? Infinie à l'infini ?
3) Le cas échéant, caractériser ses minimiseurs.

1) Je sais qu'une fonction généralisé s'écrit de la forme :

A une matrice symétrique réelle, u et v des réels, c une constante

$f_1(x,y)=\frac{1}{2} <A(x,y)^t,(x,y)^t> - <(u,v)^t,(x,y)^t> + c$

$A =\begin{pmatrix} \\ \alpha_1 & \alpha_2  \\ \\ \alpha_3 &\alpha_4 \\ \end{pmatrix}$

Je calcule et je trouve :

$f_1(x,y)=\frac{\alpha_1}{2} x^2 + \frac{\alpha_2+\alpha_3}{2}xy + \frac{\alpha_4}{2}y^2 - ux-yx + c$

Par identification f = $f1$ :

$\alpha_1 = 2, \alpha_2 + \alpha_3 = 0, \alpha_4 = 8, c=1, u=3, v=1$

Pour avoir une matrice symétrique réelle, il faut que $\alpha_2 = \alpha_3 = 0$

Donc il s'agit d'une fonction quadratique généralisée.

2) $A =\begin{pmatrix} \\ 2 & 0  \\ \\ 0 & 8 \\ \end{pmatrix}$

Det (A) >0, Tr(A)>0 et A est une matrice réel de 2 lignes et 2 colonnes
donc A est définie positive donc strictement convexe donc aussi convexe.

f est un polynôme du 2nd degré dont les coefficients devant les termes du plus haut degrés sont positifs, donc f est infinie à l'infinie.

3) Comme f est strictement convexe alors f admet au plus un minimiseur. Et comme f est aussi continu et infinie a l'infinie alors f admet au moins un minimiseur.
Donc f a un unique minimiseur.
D'après la règle de fermat, tout minimiseur est un point critique de f donc il suffit de calculer le gradient de f et voir quand il s'annule.

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x-3$
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 8y+1$

Donc le point critique et donc l'unique minimiseur de f est $(\frac{3}{2},\frac{-1}{8})$

Posté par re : fonction quadratique généralisé, convexité, minimiseur 10-05-21 à 08:39

salut

c'est probablement exact et comme ton autre sujet Point critiques, minimiseurs globaux

tu peux remarquer que :

$f(x,y) = x^2 - 3x + 4y^2 + y + 1 = \left(x - \dfrac 3 2 \right)^2 + \left( 2y + \dfrac 1 4 \right)^2 - \dfrac 9 4 - \dfrac 1 {16}$

qui montre que f est convexe avec le minimum -37/16 en (3/2, -1/8)