Niveau autre

Fonction réciproque.

Posté par
H_aldnoer 06-03-06 à 00:12

Bonjour a tous,

pouvez-vous m'aidez sur une question ?

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R^+}\setminus\mathbb{N}$ par:
$\forall n>0$ , $\forall x \in ]n,n+1[$ $g(x)=\frac{2n+2-(x+n)}{2^{n+1}}$

Montrer que $g*$ admet une fonction réciproque. Déterminer $(g*)^{-1}$ .

merci d'avance.

Posté par re : Fonction réciproque. 06-03-06 à 00:14

Sachant qu'il était demander auparavant :
Montrer que l'on peut prolonger $g$ en une fonction $g*$ continue sur $\mathbb{R^+}$ .

Posté par re : Fonction réciproque. 06-03-06 à 00:34

Pour $n\ge 1$ tu as $3$ \lim_{x \to n \\ x >n}g(x)=\frac{1}{2^n}$ (facile à montrer)

et $3$ \lim_{x \to n \\ x <n}g(x)=\lim_{x \to n \\ x <n}\frac{2(n-1)+2-(x+n-1)}{2^{n}}=\lim_{x \to n \\ x <n}\frac{n+1-x}{2^{n}}=\frac{1}{2^n}$

donc on peut prolonger g par continuité en posant $g^*(x)=g(x)$ sur $\mathbb{R}^+/\mathbb{N}$ et $\forall n \in \mathbb{N}^* \;g^*(n)=\frac{1}{2^n}$

Posté par re : Fonction réciproque. 06-03-06 à 00:52

ensuite la restriction de $g^*$ sur chaque intervale [n;n+1[ est une fonction affine de coefficient direteur strictement négatif donc sur tout intervale [n;n+1[ $g^*$ est strictement décroissante.

donc sur $\mathbb{R}^+$ $g^*$ est une fonction continue strictement décroissante.

$g^*(0)=1$ et $\lim_{x \to +\infty} g^*(x)=0$ (à démontrer proprement si possible)

$g^*$ opère donc une bijection de $\mathbb{R}^+$ dans ]0;1]

elle admet donc une application réciproque de ]0;1] dans $\mathbb{R}^+$ défini sur chaque interval $3$ ]\frac{1}{2^{n+1}};\, \frac{1}{2^{n}}]$ par $3$ (g^*)^{-1}(x)=n+2-2^{n+1}x$

Posté par re : Fonction réciproque. 06-03-06 à 01:14

votre message de 00:34 je l'avais démontrer

Posté par re : Fonction réciproque. 06-03-06 à 01:15

mais comment démontre t on la suite ?

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