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Fonction réciproque

Posté par
Nolhados 14-06-21 à 12:01

Bonjour,
Soit l'application f de \mathbb{N}^{2} dans \mathbb{N} définie par:
f(x,y)=\frac{1}{2}(x+y)(x+y+1)+y
Etant donné n\in \mathbb{N} , déterminer le couple (x,y) dont il est l'image par f.

J'ai d'abord posé t=x+y.
Soit (1/2)t(t+1)+y=n équivalent à t2+t-2(n-y)=0 . je croyais obtenir deux équations pour résoudre un système mais les deux solutions  n'aboutissent qu'à une équation (x+y)2+x+3y=2n.  Comment m'y prendre?

Posté par
GBZMre : Fonction réciproque 14-06-21 à 14:06

Bonjour,

Il est clair que la fonction h : u \mapsto \dfrac{u(u+1)}2 va jouer un rôle important. Pour t\in \N, h(t) est la somme des entiers jusqu'à t compris.
Tu peux remarquer que si n=f(x+y), alors x+y. est le plus grand entier t tel que h(t)\leq n. Quel est le réel positif u tel que h(u)=n ?

Posté par
Nolhadosre : Fonction réciproque 14-06-21 à 17:47

h(u)=n donc y=0 et u=x

Posté par
GBZMre : Fonction réciproque 14-06-21 à 18:19

Hum hum ...

Tu as une drôle de façon de résoudre l'équation \dfrac{u(u+1)}2=n avec

Posté par
GBZMre : Fonction réciproque 14-06-21 à 18:20

avec u\geq 0.

Posté par
Nolhadosre : Fonction réciproque 15-06-21 à 08:59

Bonjour,
Je croyais que n=f(x+y) était une hypothèse pour ta question.
J'ai plutôt u2+u-2n=0 ce qui me donne u=\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}\geq 0

Posté par
GBZMre : Fonction réciproque 15-06-21 à 09:31

Nolhados @ 15-06-2021 à 08:59

Je croyais que n=f(x+y) était une hypothèse pour ta question.

Et alors ?Je ne vois pas en quoi ça justifie ta réponse.

Bon, mais tu as finalement répondu. Tu peux donc maintenant exprimer x+y en fonction de n, et poursuivre. Je te rappelle :
GBZM @ 14-06-2021 à 14:06

Tu peux remarquer que si n=f(x+y), alors x+y. est le plus grand entier t tel que h(t)\leq n.

Posté par
Nolhadosre : Fonction réciproque 18-06-21 à 19:37

Bonsoir,
Je reprends ce soir cet exo. En relisant votre indication et en essayant de tâtonner pour comprendre, je propose ceci. Je vais faire intervenir la fonction partie entière

x+y est le plus grand entier tel que h(t)≤n donc x+y=E(\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2})
On a y+h(E(\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}))=n donc le couple recherché est (x,y) tel que
y=n-h(E(\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2})) et
x=E(\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2})-n+h(E(\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}))

Posté par
GBZMre : Fonction réciproque 18-06-21 à 22:56

As-tu vérifié tes formules sur un exemple, pour voir ?

Posté par
Nolhadosre : Fonction réciproque 18-06-21 à 23:41

Oui j'ai vérifié les formules sur des exemples. Y a-t-il un souci?

Posté par
GBZMre : Fonction réciproque 19-06-21 à 09:04

Juste pour m'assurer que tu avais testé.

Posté par
Nolhadosre : Fonction réciproque 19-06-21 à 09:12

Ah d'accord. Merci pour votre aide !

Posté par
GBZMre : Fonction réciproque 19-06-21 à 09:14

Avec plaisir.


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