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fonction reciproque continue

Posté par rust (invité) 11-09-05 à 15:16

bonjour,
j'ai la fonction f(x)=2*R(x)*e(-x) (lire 2*racine(x)*exponentielle(-x) , desolé je ne sais pas faire la racine) donct j'ai fait l'etude.

Elle croissante sur 0;1/2 et je doit prouver qu'elle admet une fonction reciproque continue.
Donc je dit " f realise une bijection de 0;1/2 dans0,f(1/2) donc elle admet une bijection reciproque.

Mais comment dois-je faire pour trouver cette bijection dont je dois faire l'etude ? et aussi comment prouver qu'elle est continue ?

merci

Posté par rust (invité)re : fonction reciproque continue 11-09-05 à 15:21

et même comment montrerque cette reciproque est derivable ?
merci

Posté par rust (invité)re : fonction reciproque continue 11-09-05 à 16:28

alors voilà, jepense avoir trouver comment calculer cette derivée, il faut que je fasse f(g(x))=x donc j'ai tenté de resoudre cette equation, mais je reste bloqué a y*exp(-2y)=x²/4 avec y=g(x).

comment resoudre cette equation ?
merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction reciproque continue 11-09-05 à 17:22

f:x\to2sqrt{x}e^{-x} est définie continue sur [0,+\infty[ (produit de fonctions continues)
en plus on a que:
\fbox{\forall x>0\\f'(x)=\frac{1-2x}{sqrt{x}}e^{-x}} d'où \fbox{\begin{tabular}{|c|cccccc||}x&0&&\frac{1}{2}&&+\infty& \\{f'}&||&+&0&-&\\{f}&0&\nearrow&\frac{1}{sqrt{2e}}&\searrow&0&\\\end{tabular}}
ainsi d'aprés le théorème du cours on a que:
f est une bijection continue strictement croissante de [0,\frac{1}{2}]\to[0,\frac{1}{sqrt{2e}}] et que sa bijection réciproque f^{-1} est continue strictement croissante de [0,\frac{1}{sqrt{2e}}]\to[0,\frac{1}{2}] et on a:
\fbox{\forall x\in[0,\frac{1}{2}]\\(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}} donc f^{-1} est dérivable en y=f(x) ssi f est dérivable en x et f'(x)\neq0
d'où \fbox{\begin{tabular}{|c|cccc||}x&0&&\frac{1}{sqrt{2e}}&\\{(f^{-1})'}&0&+&||&\\{f^{-1}}&0&\nearrow&\frac{1}{2}&\\\end{tabular}}

Posté par rust (invité)re : fonction reciproque continue 11-09-05 à 18:34

merci de ta réponse elhor_abdelali
mais je ne comprend pas bien.

deja pour f(0.5) je trouve \frac{2}{sqrt{2e}} au lieu de \frac{1}{sqrt{2e}}.

aussi je ne paviens pas a comprendre : " \(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}} donc f^{-1} est dérivable en y=f(x)  ssi f est dérivable en x et f'(x)\neq0 "

et peut t'on obtenir l'espression de f^{-1} si on resoud  f(g(x))=x avec g(x) la reciproque? j'ai essayé mais jen'arrive pas a resoudre cette equation

encore merci



Posté par rust (invité)re : fonction reciproque continue 11-09-05 à 19:13

finalement j'ai compris ce que je ne comprenais pas, mais maintenant je ne comprend pas d'où vient le tableau de variations. Pourquoi f^(-1) est-il positif ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction reciproque continue 11-09-05 à 19:24

Oui,je me suis trompé on a bien f(\frac{1}{2})=sqrt{\frac{2}{e}}
Trés souvent,les fonctions réciproques ne sont pas exprimables à l'aide de fonctions usuelles on arrive à les étudier (continuité,dérivabilité,sens de variation,courbe représentative..) sans les expliciter.


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