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Fonction récriproques trigonométriques

Posté par
Stanz 04-01-11 à 19:27

Bonjour,
j'ai un problème avec un exercice, je n'arrive pas à trouver l'astuce, j'ai l'impression qu'il faut avoir une "apiration" pour trouver le raisonnement (par conséquent, je voudrais bien que vous m'expliquer ce qui vous est passé par la tête pour trouver cette réponse, le raisonnment)

1)Calculer

a)tan(Arctan x +Arctan 2x)

Mes pistes:
* je sais que tan(arctanx)=x pour tout x appartenant à ]-1;1[
* je ne pense pas qu'on puisse faire un " développement"
*tan(2x)=fac/fac{2tan(x)}{1-tan²(x)}
*Je pourrais dire que arctan x= arcsinx/arcos x mais cela n'avance à rien

b)cos²(0.5Arcosx)

Mes pistes:
*je sais que cos²x+sin²x =1, je peux après remplacé x par 0.5Arccos mais je reste bloqué car je ne connais pas 1-sin²(0.5Arccos x)
*J'ai essayé de chercher une formule avec le 1/2, pensez vous le  produit (cosacosb) est exploitable ici ?

2) Montrer que Arctan(e puissance x)-Arctan(th(x/2))est constant
Montrer que Arctan(x)  +  2Arctan (Sqrt(1-x²)-x) = pi/2 est contant.

Mes pistes:
*Je pensais dérivées et si c'est nulle, alors la fonction est constante et je remplace par une valeur. (il y a t-il une méthode plus sûr car les dérivées me paraissent piegeuse)

Qu'en pensez vous ?

Merci.

Posté par
MatheuxMatoure : Fonction récriproques trigonométriques 04-01-11 à 19:30

bonsoir

Citation :
je sais que tan(arctanx)=x pour tout x appartenant à ]-1;1[
ben non ! Domaine de défintion de l'arctangente ?
Citation :
je ne pense pas qu'on puisse faire un " développement"
ben si ! pourvu qu'on connaisse ses formules trigo genre tan(a+b)=...
Citation :
Je pourrais dire que arctan x= arcsinx/arcos x mais cela n'avance à rien
et surtout parce que c'est férocement faux !

bref... commence par apprendre ton cours sur les fonctions réciproques trigonométriques, sinon tu perds du temps !

Posté par
MatheuxMatoure : Fonction récriproques trigonométriques 04-01-11 à 19:35

pour la 1-b) : cherche déjà l'ensemble de définition puis une formule qui exprime cos(A/2) en fonction de cos(A)

pour la 2 : la piste est bonne : dérive... mais avant détermine l'ensemble sur lequel tu travailles

Posté par
Stanzre : Fonction récriproques trigonométriques 04-01-11 à 22:28

Vous avez raison, je vais déjà bien retravailler mon cours.
Merci de vos conseils

Posté par
MatheuxMatoure : Fonction récriproques trigonométriques 05-01-11 à 14:20

cela me parait raisonnable.
et refais bien les démos et tous les exemples du cours avec papier/crayon...

ensuite on verra ensemble s'il y a toujours des problèmes

mm

Posté par
Stanzre : Fonction récriproques trigonométriques 06-01-11 à 10:07

Bonjour,
j'ai réussi à faire les deux premières questions (Pour la première tan(a+b) fonctionne très bien et pour la deuxième, il faut penser à cosa*cosb avec b=a) et d'autres calculs qui me posaient problèmes.

Cependant, je bloque pour mes dérivées:

2) Arctan x est défini sur R
1+x²>x²
sqrt(1+x^2)> sqrt(x)^2 car la racine est strictement croissante
sqrt(1+x^2)>abs(x)
sqrt(1+x^2)-x>0

Donc cette fonction est défnie sur R

Dérivons:

f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+2\frac{-1 +\frac{x}{sqrt(1+x^2)}}{1+1+x^2+x^2-2 sqrt(1+x^2)} \\ \\ \\ \\ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{\frac{-sqrt(1+x^2)+x}{sqrt(1+x^2)}}{1+x^2- sqrt(1+x^2)} \\ \\ \\ \\ \\ \\ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{-sqrt(1+x^2)+x}{(1+x^2)sqrt(1+x^2)-1-x^2} \\ \\ \\ \\ \\ \\ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{-sqrt(1+x^2)+x}{(1+x^2)(sqrt(1+x^2)-1)} \\ \\ \\ \\ \\ \\ f'(x)=\frac{sqrt(1+x^2)-1-sqrt(1+x^2)+x}{(1+x^2)(sqrt(1+x^2)-1)} \\ \\ \\ \\ \\ f'(x)=\frac{(-1 +x)}{(1+x^2)(sqrt(1+x^2)-1)} \\ \\

Comment puis je avancer ? Il y a t-il, une erreur sinon ?

Pour l'autre dérivée:
Arctan x est définie sur R
th(x/2) est défini sur R donc Arctan(th(x/2)) est défini sur R.

f'(x)=\frac{e^x}{1+e^x} - \frac{0.5*(1-th^2(x/2))}{1+th^2(x/2)}

Je suis tenté de remplacé les th par les formes exponentionnelles mais cela me donne des résultats assez monstrueux.
N'il y a t-il pas un moyen plus efficace ?

Merci

Posté par
MatheuxMatoure : Fonction récriproques trigonométriques 06-01-11 à 19:03

ben déjà pour ton premier calcul, tu ne dérives pas la fonction que tu avais donnée dans ton premier post !
alors ce serait bien d'avoir un énoncé clair et sûr...

quand à ton deuxième calcul, le dénominateur de la première fraction est faux

Posté par
MatheuxMatoure : Fonction récriproques trigonométriques 06-01-11 à 19:10

quant à ta deuxième fraction de ton deuxième calcul, tu remarqueras qu'en multipliant par ch²(x/2) en haut et en bas, cela te fait 0,5/(ch²(x/2)+sh²(x/2)) = 0,5/ch(x) et là c'est assez rapide de remplacer par les exponentielles , non ?

Posté par
Stanzre : Fonction récriproques trigonométriques 08-01-11 à 11:32

Bonjour,
C'est super efficace, merci.
J'arrive bien à montrer qu'elle est constante.

Concernant mes dérivées, j'ai inversé l'ordre des questions et des réponses, veuillez m'excuser.

Par conséquent, la première dérivée a bien pour consigne
Montrer que Arctan(x)  +  2Arctan (Sqrt(1-x²)-x) = pi/2 est contant.
Si vous ne comprenez pas une des étapes du cacul, dîtes le moi.

Merci de votre aide

Posté par
MatheuxMatoure : Fonction récriproques trigonométriques 08-01-11 à 11:37

ben ce n'est pas cette fonction là que tu dérives... donc ton calcul ne sert à rien !

Posté par
MatheuxMatoure : Fonction récriproques trigonométriques 08-01-11 à 11:52

bon, y'en a un peu marre de ce type de topic où le propriétaire vient voir une fois tous les 36 du mois et lis à peine les messages qu'on lui laisse !

Au revoir et bonne continuation

mm

Posté par
Stanzre : Fonction récriproques trigonométriques 08-01-11 à 14:42

Bonjour,
Je tiens tout de même à vous remercier MatheuxMatou pour votre aide.
Bonne continuation à vous aussi .

Sinon, quelqu'un a remarqué mon erreur ?
Inattention ?  Raisonnement ?
J'ai pourtant bien dérivé (il me semble).
arctan'(x)= 1/(1+x²) et j'ai bien fais attention à Artan U.
Arctan U= u'/(1+U²)

et je sais que la dérivée d'une racine est u'/(2 Sqrt(u))

Voilà merci d'avance à la personne qui m'aidera.

Posté par
MatheuxMatoure : Fonction récriproques trigonométriques 08-01-11 à 17:22

depuis le début je te dis que ton erreur est de ne pas dériver la bonne fonction !!!!

tu dérives arctan((1+x²) - x)

alors que dans la fonction t'es donnée c'est arctan((1-x²) - x)

Posté par
Stanzre : Fonction récriproques trigonométriques 09-01-11 à 09:23

Bonjour,
je comprends mieux ce que vous disiez, veuillez m'excuser c'est une erreur de ma part,
la consigne est bien associée à:
Arctan(x)+2Arctan(Sqrt(1 + x²)  -x)
Merci d'avance

Posté par
Stanzre : Fonction récriproques trigonométriques 09-01-11 à 09:36

J'ai essayé de le refaire avec du recul et j'ai réussi à trouver mon erreur qui se situait au niveau du développement (2x(Sqrt(1+x²)) et non 2(Sqrt(1+x²)

Merci !

Posté par
MatheuxMatoure : Fonction récriproques trigonométriques 09-01-11 à 16:16

très bien !
je n'avais pas regardé ton calcul du fait que je pensais que la fonction n'était pas la bonne !


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