Il y a un problème dans ta question a) : le x n'est pas quantifié.

D'accord pour la continuité uniforme : c'est presque nouveau pour moi, je viens de le voir dans un autre cours et n'avait pas faire la relation
désolée, j'ai mal recopié en effet dans la (a), c'est pour tout x appartenant à [a,b]

Ok alors maintenant que tu as la définition d'une limite uniforme, que proposes-tu pour la question a) ?

Comme f est limite uniforme, elle est uniformément continue sur [a,b] donc continue. On a
Pour tout > 0 , il existe , pour tout x,x' appartenant à [a,b],
|x-x'| < -> |f(x) - f(x')|<
Je propose de découper l'intervalle [a,b] en intervalle plus petit (subdivision pointée) [] tel que et
0 <= i <= n
de même longueur <
alors on a :
pour tout x appartenant à [],
|| <
donc
|f(x) - f()| <
Ensuite on pose
(x) = f() = f( ) sur
[a + i , a+ (i+1) ]

Je pense que est bien une fonction en escalier. J'ai   un petit problème parce que dans l'énoncé, est en fonction de x, or la fonction que je trouve dépend de i.

je suis fort occupé je ne peux plus t'aider...

up pour HighSchool2005

La 1) est simplement la traduction de la définition ta démo concernait quelle question?

ma démo concernait la question (a) où \phi_\epsilon doit être une fonction de x. (erreur dans le recopiage)
Je voulais utiliser le fait que f est limite uniforme (je n'ai pas l'habitude d'utiliser cette notion et c'est la première fois que j'entends parler de fonction réglée) donc je pensais que f était uniformément continue donc continue sur [a,b] et que je pouvais alors découper l'intervalle en intervalles plus petits et définir une fonction à escaliers constante sur chaque intervalle plus petit qui se trouverait juste en dessous de f.

Je sais pas si j'ai bien saisi mais on te dit que f est réglée si elle est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.

Il existe donc une suite f_n de fonctions en escalier telle que:

Sup|f_n-f| tend vers 0 avec n.

Donc il existe un N tel que pour tout x dans [a,b] on ait:

|f(x)-f_N(x)|<e avec f_N en escalier.

j'ai l'impression la réponse de Highschool est un mélange de la a) et la b)

Oui j'ai du mal à comprendre à quoi il répond.

en fait si je comprends bien, ma réponse répond que si f est continue, alors f est bien une limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier (mais il manque peut-être des choses dans mon raisonnement) donc à la b)

La a) est simplement la définition d'une limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier

Est-ce ça ?

Oui il faut traduire simplement la définition avec des suites avec des epsilons.

Je pense que c'est ok pour la a et la b... après avoir compris les questions. Ma première réponse avait été pensée pour répondre à la a mais répond en fait à la b
La a, je n'ai pas vraiment eu de mal, finalement, c'est la définition un peu explicitée.

Pour les autres je regarde et je vous dis ce que je trouve.

bon je bloque sur la d) et la g)

Pour la d), je comprends bien ce que ça demande vu la question c) mais je ne sais pas comment le prouver car j'ai du mal à manipuler les limites à gauche et à droite. J'ai surtout l'habitude de manipuler la limite tout court.

Pour la g), j'ai fait une petite recherche sur le net. En fait, une fonction réglée est Riemann-intégrable, je crois, vu la question a) car elle est très proche d'une fonction en escalier et donc on peut trouver une subdivision pointée de [a,b] tel que la somme de Riemann de f vaut l'intégrale de
Or d'après ce que j'ai pu lire, les points de discontinuité d'une fonction intégrable sont en nombre négligeable mais dénombrable.
Dites-moi ce que vous en pensez.

un point me chiffone pour la f.


comment pourrait t'on parler de limite uniforme si la limite n'est pas borné ? (puisque la norme infinit c'est définit sur l'ensemble des fonction borné... )

Bonsoir à tous

Ksilver > lorsque l'on détermine une convergence uniforme d'une suite de fonctions vers une fonction f, le fait d'étudier doit avoir un sens mais seulement pour n assez grand (on parle bien de convergence uniforme sur ).

Par exemple, on peut considérer l'exemple pour x différent de 0.

ici, ça a bien un sens de dire que cette suite converge uniformément vers la fonction inverse.

Kaiser

ouai effectivement, et vu comme ca le résultat est evident :
les fonction en escalier sont borné. donc si f est non borné, quelque soit n, f-fn est non borné, donc la norme infini n'est jammais définit...

oui je n'ai eu aucun mal à prouver qu'elle était bornée une fois que j'avais compris ce qu'était une fonction réglée. Par contre, j'ai quelques problèmes avec les limites à gauche et à droite car rien ne dit qu'elles doivent être égales (donc f continue), il suffit qu'elles existent.
Si les limites à gauche et à droite existent, que peut-on en conclure, par exemple ?

Quelqu'un peut-il m'aider ?
Questions d et g
Merci

Si f est réglée elle est donc limite uniforme d'une suite (fn) de fonctions en escalier.

Pour chaque n,l'ensemble des points de discontinuité de est fini ,on le note donc:

est dénombrable.

Montre que si x n'est pas dans cette union alors c'est un point de continuité.

merci pour ton aide supplémentaire Cauchy
Comme sais-tu que pour chaque n, les points de discontinuité de fn sont dénombrables. Cela vient-il du fait que fn est une fonction en escaliers ?

Oui ca vient de ca.

Les points de discontinuité sont meme en nombre fini.