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Niveau Maths sup
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fonction réglée

Posté par
HighSchool2005
05-02-07 à 11:05

Bonjour,

j'aurais besoin d'aide pour cet exercice. Déjà, pourriez-vous me dire la différence entre une limite et une limite uniforme ?

I = [a,b] un intervalle compact
f : I -> R est réglée si elle est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.

(a) Montrer que f est réglée ssi pour tout  \epsilon > 0 il existe une fonction en escalier \phi_\epsilon tel que
|f(x) - \phi_\epsilon | < \epsilon

(b) Montrer qu'une fonction continue est réglée.

(c)Soit f : [0,1] -> R définie par
f(0) = 0
f(x) = \frac{1}{sqrt(x)} si x différent de 0.

Montrer que f n'est pas réglée.

(d) Montrer que f est réglée ssi elle admet en tout point de [a,b] des limites à droite et à gauche.

(e) Montrer qu'une fonction monotone est réglée
(f) Montrer qu'une fonction réglée est bornée
(g) Montrer que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction réglée est dénombrable.


PS : Il y a des choses au niveau de la topologie que je n'ai pas vu en détail qui ont un rapport avec cet exercice donc n'hésitez pas à bien citer les théorèmes utilisés.

Posté par
stokastik
re : fonction réglée 05-02-07 à 13:21

Citation :
pourriez-vous me dire la différence entre une limite et une limite uniforme ?


->

Posté par
stokastik
re : fonction réglée 05-02-07 à 13:23


Il y a un problème dans ta question a) : le x n'est pas quantifié.

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 05-02-07 à 14:48

D'accord pour la continuité uniforme : c'est presque nouveau pour moi, je viens de le voir dans un autre cours et n'avait pas faire la relation
désolée, j'ai mal recopié en effet dans la (a), c'est pour tout x appartenant à [a,b]

Posté par
stokastik
re : fonction réglée 05-02-07 à 14:52

Ok alors maintenant que tu as la définition d'une limite uniforme, que proposes-tu pour la question a) ?

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 05-02-07 à 16:12

Comme f est limite uniforme, elle est uniformément continue sur [a,b] donc continue. On a
Pour tout \epsilon > 0 , il existe \eta , pour tout x,x' appartenant à [a,b],
|x-x'| < \eta -> |f(x) - f(x')|< \epsilon
Je propose de découper l'intervalle [a,b] en intervalle plus petit (subdivision pointée) [a_i,b_i] tel que a_0 = a et b_n = b
0 <= i <= n
de même longueur \frac{b-a}{n+1} < \eta
alors on a :
pour tout x appartenant à [a_i, b_i],
|x-a_i| < \eta
donc
|f(x) - f(a_i)| < \epsilon
Ensuite on pose
\phi_\epsilon (x) = f(a_i) = f( a + i \frac{b-a}{n+1} ) sur
[a + i \frac{b-a}{n+1} , a+ (i+1) \frac{b-a}{n+1} ]

Je pense que \phi_\epsilon est bien une fonction en escalier. J'ai   un petit problème parce que dans l'énoncé, \phi_\epsilon est en fonction de x, or la fonction que je trouve dépend de i.

Posté par
stokastik
re : fonction réglée 05-02-07 à 18:22

je suis fort occupé je ne peux plus t'aider...

up pour HighSchool2005

Posté par
Cauchy
re : fonction réglée 05-02-07 à 18:52

La 1) est simplement la traduction de la définition ta démo concernait quelle question?

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 05-02-07 à 19:57

ma démo concernait la question (a) où \phi_\epsilon doit être une fonction de x. (erreur dans le recopiage)
Je voulais utiliser le fait que f est limite uniforme (je n'ai pas l'habitude d'utiliser cette notion et c'est la première fois que j'entends parler de fonction réglée) donc je pensais que f était uniformément continue donc continue sur [a,b] et que je pouvais alors découper l'intervalle en intervalles plus petits et définir une fonction à escaliers constante sur chaque intervalle plus petit qui se trouverait juste en dessous de f.

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 05-02-07 à 19:59

\phi_\epsilon

Posté par
Cauchy
re : fonction réglée 05-02-07 à 20:02

Je sais pas si j'ai bien saisi mais on te dit que f est réglée si elle est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.

Il existe donc une suite f_n de fonctions en escalier telle que:

Sup|f_n-f| tend vers 0 avec n.

Donc il existe un N tel que pour tout x dans [a,b] on ait:

|f(x)-f_N(x)|<e avec f_N en escalier.

Posté par
stokastik
re : fonction réglée 05-02-07 à 20:21


j'ai l'impression la réponse de Highschool est un mélange de la a) et la b)

Posté par
Cauchy
re : fonction réglée 05-02-07 à 20:26

Oui j'ai du mal à comprendre à quoi il répond.

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 05-02-07 à 20:29

en fait si je comprends bien, ma réponse répond que si f est continue, alors f est bien une limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier (mais il manque peut-être des choses dans mon raisonnement) donc à la b)

La a) est simplement la définition d'une limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier

Est-ce ça ?

Posté par
Cauchy
re : fonction réglée 05-02-07 à 20:54

Oui il faut traduire simplement la définition avec des suites avec des epsilons.

Citation :
en fait si je comprends bien, ma réponse répond que si f est continue, alors f est bien une limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier (mais il manque peut-être des choses dans mon raisonnement) donc à la b)


C'est à toi de savoir à quoi tu réponds,quand tu as rédigé ca tu pensais à quoi?

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 06-02-07 à 07:19

Je pense que c'est ok pour la a et la b... après avoir compris les questions. Ma première réponse avait été pensée pour répondre à la a mais répond en fait à la b
La a, je n'ai pas vraiment eu de mal, finalement, c'est la définition un peu explicitée.

Pour les autres je regarde et je vous dis ce que je trouve.

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 06-02-07 à 09:19

bon je bloque sur la d) et la g)

Pour la d), je comprends bien ce que ça demande vu la question c) mais je ne sais pas comment le prouver car j'ai du mal à manipuler les limites à gauche et à droite. J'ai surtout l'habitude de manipuler la limite tout court.

Pour la g), j'ai fait une petite recherche sur le net. En fait, une fonction réglée est Riemann-intégrable, je crois, vu la question a) car elle est très proche d'une fonction en escalier et donc on peut trouver une subdivision pointée de [a,b] tel que la somme de Riemann de f vaut l'intégrale de \phi_\epsilon (x)
Or d'après ce que j'ai pu lire, les points de discontinuité d'une fonction intégrable sont en nombre négligeable mais dénombrable.
Dites-moi ce que vous en pensez.

Posté par
Ksilver
re : fonction réglée 06-02-07 à 18:39

un point me chiffone pour la f.


comment pourrait t'on parler de limite uniforme si la limite n'est pas borné ? (puisque la norme infinit c'est définit sur l'ensemble des fonction borné... )

Posté par
kaiser Moderateur
re : fonction réglée 06-02-07 à 18:46

Bonsoir à tous

Ksilver > lorsque l'on détermine une convergence uniforme d'une suite de fonctions \Large{f_{n}} vers une fonction f, le fait d'étudier \Large{||f_{n}-f||_{\infty}} doit avoir un sens mais seulement pour n assez grand (on parle bien de convergence uniforme sur \Large{\mathbb{R}}).

Par exemple, on peut considérer l'exemple \Large{f_{n}(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{n}} pour x différent de 0.

ici, ça a bien un sens de dire que cette suite converge uniformément vers la fonction inverse.

Kaiser

Posté par
Ksilver
re : fonction réglée 06-02-07 à 19:23

ouai effectivement, et vu comme ca le résultat est evident :
les fonction en escalier sont borné. donc si f est non borné, quelque soit n, f-fn est non borné, donc la norme infini n'est jammais définit...

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 06-02-07 à 21:48

oui je n'ai eu aucun mal à prouver qu'elle était bornée une fois que j'avais compris ce qu'était une fonction réglée. Par contre, j'ai quelques problèmes avec les limites à gauche et à droite car rien ne dit qu'elles doivent être égales (donc f continue), il suffit qu'elles existent.
Si les limites à gauche et à droite existent, que peut-on en conclure, par exemple ?

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 07-02-07 à 11:21

Quelqu'un peut-il m'aider ?
Questions d et g
Merci

Posté par
Cauchy
re : fonction réglée 09-02-07 à 15:08

Si f est réglée elle est donc limite uniforme d'une suite (fn) de fonctions en escalier.

Pour chaque n,l'ensemble des points de discontinuité de 3$f_n est fini ,on le note 3$D_ndonc:

\Large{\cup_{n \in N} D_n} est dénombrable.

Montre que si x n'est pas dans cette union alors c'est un point de continuité.

Posté par
HighSchool2005
re : fonction réglée 09-02-07 à 22:32

merci pour ton aide supplémentaire Cauchy
Comme sais-tu que pour chaque n, les points de discontinuité de fn sont dénombrables. Cela vient-il du fait que fn est une fonction en escaliers ?

Posté par
Cauchy
re : fonction réglée 10-02-07 à 01:52

Oui ca vient de ca.

Les points de discontinuité sont meme en nombre fini.



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