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Niveau Licence Maths 1e ann
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Fonction réglée

Posté par
Leonegres
04-01-11 à 11:12

Bonjour,

Dans mon cours j'ai la définition suivante d'une fonction réglée :

Une fonction f : I est dite réglée sur I=[a,b] si elle possède en tout point x0[a,b] des limites à droite et à gauche finies, ainsi qu'une limite à droite finie en a et une limite à gauche finie en b.

Je ne comprends pas bien (voir même pas du tout) la subtile ou non subtile différence qu'il y aurait avec une fonction qui serait continue sur [a,b].

Cela veut-il dire qu'une fonction en escalier sur [a,b] pourrait être réglée ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer s'il vous plaît ?

Merci

Léo

Posté par
gui_tou
re : Fonction réglée 04-01-11 à 11:19

Salut

Oui elle peut être simplement continue par morceaux

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 04-01-11 à 11:23

Bonjour Guitou, et merci.

J'ai beaucoup de mal avec toutes ces notions d'analyse ...

Si elle est continue par morceaux, cela veut donc dire qu'il y aura des points de discontinuité sur [a,b], non ?

Et si il y a des points de discontinuité sur [a,b], cela voudrait donc dire que f ne serait pas continue sur [a,b] ?

Dis-je une grosse bêtise ?

Posté par
gui_tou
re : Fonction réglée 04-01-11 à 11:25

Non tu as raison, une fonction continue par morceaux n'est pas forcément continue.

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 04-01-11 à 11:29

D'accord.

J'ai en fait un cours de L2 sans véritable passerelle avec mes cours de L1, lequel aborde des notions je le vois très importantes, mais en étant très incomplet.
Du coup il me manques des tas d'outils pour avancer et je bute sur tout : continuité, continuité uniforme, etc. etc. etc. (je travaille par correspondance).

Puis-je me permettre s'il te plaît de te demander un autre renseignement (ou du moins 2) ?

Posté par
gui_tou
re : Fonction réglée 04-01-11 à 11:29

Oui oui tu peux bien sûr ^^

Posté par
Glapion Moderateur
re : Fonction réglée 04-01-11 à 11:29

Bonjour,
Ben oui, ça n'est pas pareil, la fonction réglée peut avoir des sauts si je comprends bien, les limites à droite et à gauche peuvent ne pas être les mêmes donc elle n'est pas continue. Une fonction en escalier est donc réglée, oui.

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 04-01-11 à 11:36

Merci Glapion. Et une fonction continue est donc forcément réglée si je comprends bien.

Par rapport à mes questions potentielles évoquées dans mon post de 11:29, voici :

Une fonction réglée ne peut-elle avoir qu'un nombre dénombrable de discontinuités (car si elle est discontinue partout, c'est la mort du p'tit cheval ...) ?

Qu'entend-on par limite uniforme ?

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 04-01-11 à 11:46

Oh là là ...
Je vois dans mon cours qu'on peut construire une fonction réglée, non continue par morceaux, à partir du moment où elle a un nombre infini de discontinuité (bonjour avec ma question ci-dessus), mais qui soit suffisamment régulière pour être réglée.

Et pas un schéma dans le cours pour illustrer cela ...
En gros, dém... toi avec ça !

Faut en vouloir pour faire des études par correspondance.

Posté par
gui_tou
re : Fonction réglée 04-01-11 à 13:17

Ah, on y vient ...

Les fonctions biscornues avec un nombre infini de discontinuité m'ont toujours intrigué, mais je n'ai pas les connaissances nécessaires pour t'aider, j'en suis désolé.

Il me semble qu'il s'agit d'une histoire d'ensemble des points de discontinuité de mesure nulle ... Enfin je crois que c'est de la théorie de la mesure (tribus et compagnie).

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction réglée 04-01-11 à 14:43

Bonjour

Voilà une fonction réglée avec un ensemble dénombrable de discontinuités: Sur [0,1]

\{f(0)=0\\ 
 \\ f(x)=1/n\ si\ x\in \[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\[\\
 \\ f(1)=1

où n est un entier strictement positif bien sur!

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 04-01-11 à 18:46

Merci Camélia mais malheureusement, cela n'éclaire pas mon chemin ...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction réglée 05-01-11 à 11:26

As-tu essayé de la dessiner?

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 05-01-11 à 11:30

Heu ... Non pas du tout.

Posté par
gui_tou
re : Fonction réglée 05-01-11 à 13:58

Commence par la dessiner Ensuite, il faut que tu assimiles l'abstraite notion qu'il y a plusieurs sortes d'infini ! C'est fascinant mais je ne peux (encore) t'aider pour ça.

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 05-01-11 à 17:59

Je ne vois pas trop comment la dessiner : j'ai fait quelque chose en posant n=2 pour essayer d'illustrer le "truc", mais bon ...

Fonction réglée

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction réglée 06-01-11 à 15:36

Oui, c'est ça... sauf que ça continue! Tu as 1/3 entre 1/4 et 1/3 et ainsi de suite... Tu vois bien qu'il y a une limite à droite et une limite à gauche en chaque point de la forme 1/n et ça tend vers 0 quand x tend vers 0 à droite.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction réglée 06-01-11 à 15:37

Tu avais aussi 1 entre 1/2 et 1

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 06-01-11 à 15:52

Et donc elle a un nombre infini de discontinuités ... tout en étant continue par morceaux. C'est cela ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction réglée 06-01-11 à 15:54

Je ne sais pas trop si quand on dit "continue par morceaux" on n'impose pas un nombre fini de discontinuités. Mais l'idée est bien celle-là.

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 06-01-11 à 15:58

Oui mais dans mon pôst de 11:36 je ^posais la question en ces termes :

Une fonction réglée ne peut-elle avoir qu'un nombre dénombrable de discontinuités (car si elle est discontinue partout, c'est la mort du p'tit cheval ...) ?

C'est franchement pas bien clair pour moi tout cela ...

Léo

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction réglée 06-01-11 à 16:17

Attends, mon exemple est bien une fonction réglée qui a une infinité de discontinuités.

Ce que je dis, c'est qu'il y a des conventions qui imposent un nombre fini de sauts si on dit "par morceaux" (c'est le cas de wiki ) mais je ne suis pas sure que ce soit universel.

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 06-01-11 à 16:22

C'est bien cette approche "paradoxal" qui me gêne.

Mais bon, au moins j'ai avancé un petit peu et ça me parle un peu plus.

Merci beaucoup.

Léo

Posté par
yann63
re : Fonction réglée 06-01-11 à 16:45

Une fonction réglée peut aussi être vue comme une fonction qu on peut approximer par une fonction en escalier. Du coup meme avec un nombre infini de discontinuités, mais des intervalles ou la fonction est "continue", ça marche aussi. Arrêtez moi si je dis une bétise, car c est pas vraiment un domaine que je maitrise mais que j'aimerai maitriser.

Posté par
Leonegres
re : Fonction réglée 06-01-11 à 16:47

Bonjur Yann,

Je commence à me rendre compte que j'ai un prof qui travaille certainement très bien au laboratoire mathématique de la fac, mais que son cours ratisse très largement des notions qui dépassent un débutant de L2 ...

Léo



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