Bonjour,
Dans mon cours j'ai la définition suivante d'une fonction réglée :
Une fonction f : I est dite réglée sur I=[a,b] si elle possède en tout point x0
[a,b] des limites à droite et à gauche finies, ainsi qu'une limite à droite finie en a et une limite à gauche finie en b.
Je ne comprends pas bien (voir même pas du tout) la subtile ou non subtile différence qu'il y aurait avec une fonction qui serait continue sur [a,b].
Cela veut-il dire qu'une fonction en escalier sur [a,b] pourrait être réglée ?
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci
Léo
Bonjour Guitou, et merci.
J'ai beaucoup de mal avec toutes ces notions d'analyse ...
Si elle est continue par morceaux, cela veut donc dire qu'il y aura des points de discontinuité sur [a,b], non ?
Et si il y a des points de discontinuité sur [a,b], cela voudrait donc dire que f ne serait pas continue sur [a,b] ?
Dis-je une grosse bêtise ?
D'accord.
J'ai en fait un cours de L2 sans véritable passerelle avec mes cours de L1, lequel aborde des notions je le vois très importantes, mais en étant très incomplet.
Du coup il me manques des tas d'outils pour avancer et je bute sur tout : continuité, continuité uniforme, etc. etc. etc. (je travaille par correspondance).
Puis-je me permettre s'il te plaît de te demander un autre renseignement (ou du moins 2) ?
Bonjour,
Ben oui, ça n'est pas pareil, la fonction réglée peut avoir des sauts si je comprends bien, les limites à droite et à gauche peuvent ne pas être les mêmes donc elle n'est pas continue. Une fonction en escalier est donc réglée, oui.
Merci Glapion. Et une fonction continue est donc forcément réglée si je comprends bien.
Par rapport à mes questions potentielles évoquées dans mon post de 11:29, voici :
Une fonction réglée ne peut-elle avoir qu'un nombre dénombrable de discontinuités (car si elle est discontinue partout, c'est la mort du p'tit cheval ...) ?
Qu'entend-on par limite uniforme ?
Oh là là ...
Je vois dans mon cours qu'on peut construire une fonction réglée, non continue par morceaux, à partir du moment où elle a un nombre infini de discontinuité (bonjour avec ma question ci-dessus), mais qui soit suffisamment régulière pour être réglée.
Et pas un schéma dans le cours pour illustrer cela ...
En gros, dém... toi avec ça !
Faut en vouloir pour faire des études par correspondance.
Ah, on y vient ...
Les fonctions biscornues avec un nombre infini de discontinuité m'ont toujours intrigué, mais je n'ai pas les connaissances nécessaires pour t'aider, j'en suis désolé.
Il me semble qu'il s'agit d'une histoire d'ensemble des points de discontinuité de mesure nulle ... Enfin je crois que c'est de la théorie de la mesure (tribus et compagnie).
Bonjour
Voilà une fonction réglée avec un ensemble dénombrable de discontinuités: Sur [0,1]
où n est un entier strictement positif bien sur!
Commence par la dessiner Ensuite, il faut que tu assimiles l'abstraite notion qu'il y a plusieurs sortes d'infini ! C'est fascinant mais je ne peux (encore) t'aider pour ça.
Je ne vois pas trop comment la dessiner : j'ai fait quelque chose en posant n=2 pour essayer d'illustrer le "truc", mais bon ...
Oui, c'est ça... sauf que ça continue! Tu as 1/3 entre 1/4 et 1/3 et ainsi de suite... Tu vois bien qu'il y a une limite à droite et une limite à gauche en chaque point de la forme 1/n et ça tend vers 0 quand x tend vers 0 à droite.
Et donc elle a un nombre infini de discontinuités ... tout en étant continue par morceaux. C'est cela ?
Je ne sais pas trop si quand on dit "continue par morceaux" on n'impose pas un nombre fini de discontinuités. Mais l'idée est bien celle-là.
Oui mais dans mon pôst de 11:36 je ^posais la question en ces termes :
Une fonction réglée ne peut-elle avoir qu'un nombre dénombrable de discontinuités (car si elle est discontinue partout, c'est la mort du p'tit cheval ...) ?
C'est franchement pas bien clair pour moi tout cela ...
Léo
C'est bien cette approche "paradoxal" qui me gêne.
Mais bon, au moins j'ai avancé un petit peu et ça me parle un peu plus.
Merci beaucoup.
Léo
Une fonction réglée peut aussi être vue comme une fonction qu on peut approximer par une fonction en escalier. Du coup meme avec un nombre infini de discontinuités, mais des intervalles ou la fonction est "continue", ça marche aussi. Arrêtez moi si je dis une bétise, car c est pas vraiment un domaine que je maitrise mais que j'aimerai maitriser.
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