Bonjour,

une recherche sur Internet donne :

http://163.172.10.123:8080/int-Riemann.pdf

Cordialement,
--
Mateo.

Bonjour et merci pour cette réponse.

Ce document donne un exemple de fonction intégrable au sens de Lebesgue et non au sens de Riemann (ce qui est facile à construire, avec l'indicatrice sur par exemple.)

Mais je cherchais au contraire un exemple de fonction qui est bel et bien intégrable au sens de Riemann sans l'être au sens de Lebesgue.

Bonne soirée

Bonsoir,

c'est bizarre. Toute fonction Riemann-intégrable est Lebesgue-intégrable pour peu qu'on fasse la différence entre être intégrable et être improprement intégrable (l'exemple classique c'est sin(x)/x sur R qui est improprement Riemann- intégrable mais pas Lebesgue-intégrable). Tu es certain de ne pas confondre la construction d'un ensemble de R qui n'est pas borélien plutôt ? Là on utilise l'axiome du choix, tu peux regarder sur ton moteur de recherche les ensembles de Vitali.

Bonsoir,

Merci pour cette réponse, j'avais effectivement confondu avec l'ensemble de Vitali pour l'utilisation de l'axiome du choix.

Notre professeur nous a montré que si f est une fonction Riemann-intégrable sur [a,b], alors il existe une fonction g Lebesgue-intégrable sur [a,b] qui est presque partout égale à f.

Mais il ne nous a pas montré que f est Lebesgue intégrable comme tu l'affirmes. Aurais-tu une preuve de ce point s'il-te-plaît ?

Merci d'avance et bonne soirée

Bonjour,

c'est parce que je t'ai un peu roulé dans la farine disons qu'une fonction f Riemann-intégrable sur [a,b] est plutôt mesurable pour la tribu borélienne attachée à [a,b]... complétée ! Je pense que ton professeur n'a pas voulu détailler cette notion parce qu'on rentre vite dans des aspects techniques de définition de mesures extérieures etc. Pour une référence, j'ai beaucoup utilisé le pdf de Jean-François Le Gall : "Intégration, probabilités et processus aléatoires" ; tout ce que je viens de dire doit s'y trouver. Je pense que la ressource est disponible ici si je ne me trompe pas .

Tu y apprendras qu'il existe une extension de la mesure de Lebesgue que tu connais sur ce complété, si bien que parler de l'intégrale de Lebesgue de f a tout de même un sens, même si on fait l'abus de notation



pour parler de



(et encore, il faudrait mettre une restriction de ces mesures...). Tout ça c'est loin pour moi, j'espère ne pas dire trop de bêtises, auquel cas je laisse d'autres intervenants me corriger .


Bonne journée

Oui c'est à peu près ça. En fait il faut juste rajouter que malgré son nom, une mesure extérieure n'est pas forcément une mesure.

Par contre, ce qui est vrai, c'est que les ensembles mesurables forment une tribu, et que la restriction de la mesure extérieure à cette tribu est une mesure.

En fait, on peut faire plus précis et construire une extension régulière de , dont la restriction à notre tribu coincide avec celle de et telle que tout ensemble mesurable est aussi mesurable. Donc la (vraie) mesure étend effectivement la mesure

Bonsoir,

Merci beaucoup pour vos réponses, mon professeur n'avait effectivement pas parlé de mesure extérieure ni de la tribu complétée; et ce poly est très intéressant !

Bonne Soirée