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Fonction sin(1/x)
Bonsoir tout le monde,voila mon exo:
Soit f définie sur R par f(0)=0 et f(x)=sin(1/x) si x
0
a)montrer que l'image de tout intervalle I de R par f est un intervalle.
b)f est-elle continue?
pour la 2e question je pense a utiliser le théoreme des valeur intermédiare en utilisant la 1er question que je n'arrive pas a faire
pour la 1er question il faudrait peut-etre distinguer deux cas,celui ou I contient 0 et celui ou il ne le contient pas
Bonsoir,
oui ca peut etre une bonne idée au voisinage de 0,on voit que f va prendre toutes les valeurs.
Bonsoir zoldick
Effectivement, pour la question 1), il faut distinguer les cas. Si cet intervalle ne contient pas 0, alors c'est facile, sinon si I contient 0, alors montre en fait que l'on a f(I)=[-1,1].
Pour la deuxième, à ton avis f est-elle continue ou pas ? et pourquoi ? Comment utiliserais-tu le théorème des valeurs intermédiaires.
Kaiser
et bien puisque l'image de tt intervalle de I de R par f est un intervalle donc f est continue
pour la 1er question si I ne contient pas 0 on a f(I) qui est un intervalle(faut il démontrer cela?) et si I contient 0 alors pr tout x dans I f(x) est entre -1 et 1 et puisque on a f(0)=0 donc qui appartient à [-1,1]
et bien puisque l'image de tt intervalle de I de R par f est un intervalle donc f est continue
C'est faux. Le théorème des valeurs intermédiaires n'est pas une condition nécessaire et suffisante de continuité.
si I ne contient pas 0 on a f(I) qui est un intervalle(faut il démontrer cela?)
oui il faut un peu préciser les choses. Un intervalle qui ne contient pas 0 est nécessairement inclus soit dans
si I contient 0 alors pr tout x dans I f(x) est entre -1 et 1 et puisque on a f(0)=0 donc qui appartient à [-1,1]
Ce n'est pas suffisant : cela ne montre qu'une des deux inclusions.
Kaiser
Salut kaiser 
Quand j'ai vu l'enoncé j'ai pensé tout de suite sin(1/z) ce qui m'a fait dire n'importe quoi 
:Dsi I contient 0 alors pour tout x dans I privé de 0 f(x)continue et puisque f(0)=0 implique que f est continue en 0 donc f est continue sur I
pour tout x dans I privé de 0 f(x)continue
f(x) est un nombre, pas une fonction ! ça n'a aucun sens, f(x) continue !
pourtant F admet bien une limite réel en 0 ?
et bien non, f n'a pas de limite : aussi près que tu te rapproches de 0, tu peux trouver des x tels que f(x)=1, et d'autres tels que f(x)=-1 (par exemple si
si f était continue en 0, on aurait
oui je comprends,mais alors comment faire pour montrer que l'image d'un intervalle I de R contenant 0 par F est un intervalle?
donc pr répondre à la 2e question si I est un intervalle ne contenantt pas 0 alors f est continue mais si I contient 0 F n'est pas continue
Pour tout k entier non nul, quand x parcourt l'intervalle , f(x) décrit [-1;1], par continuité de la fonction inverse sur IR+* et sur IR-*, et continuité de la fonction sin.
Dans tout intervalle I contenant 0, il y a au moins un de ces intervalles (pour k assez grand), ce qui montre que [-1 ; 1] est contenu dans f(I). et tu avais déjà vérifié l'inclusion inverse
Pour la question 2, f est continue en tout x non nul (th. sur les composées de fonctions continues), et discontinue en 0 (prouvé à 10:31).
merci beaucoup je comprend mieu maintenant 
parallélement heir soit j'ai tenté de résoudre l'équation suivante :
x^n + x^n-1 +......+x^2 + x - 1 =0 on m'à dit que cette equation admet une racine positive,mais je n'ai pas réussi à la trouver,si vous auriez a ce sujet, cela pourrez m'aider.merci
1 n'est pas solution de cette équation. tu peux écrire (somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique de raison x).
Ton équation est donc équivalente à .
Fais une étude de la fonction définie sur IR+ par f(x)=x^{n+1}-2x+1 pour voir si elle s'annule ailleurs qu'en 1
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