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fonction trigonométrique

Posté par
alilou1923 29-09-16 à 00:29

je suis un eleve en perpa mpsi .
ceci est un exercice que je n'ai pas pu resouder .
f(x) = arccos(sqrt((1 + sin(x)) / 2)) - arcsin(sqrt((1 + cos(x)) / 2))
sqrt est la racine carrée
il m'ont demander d'etudier cette fonction.

Posté par
jsvdbre : fonction trigonométrique 29-09-16 à 00:35

Bonjour alilou1923

On va la renoter proprement f(x) = Arccos(\sqrt {\dfrac{1+sin(x)}{2}}) -Arcsin(\sqrt {\dfrac{1+cos(x)}{2}})  .

Et tu as fait quoi pour le moment dans cette étude ?

Posté par
alilou1923re : fonction trigonométrique 29-09-16 à 13:31

j'ai fais le domaine de definition  
-1<sqrt((1 + sin(x)) / 2)<1 et -1<sqrt((1 + cos(x)) / 2)<1
alors        -pi/2<x<pi/2        et            0<x<pi
la derivée: f'(x)=(1/2)(sinx/sinx-cosx/cosx)
f'(x)=0
donc f est constante .
alors qu'en utilisant un logiciel de tracage de courbe ,j'ai constaté que la fonction n'est pas constante.

Posté par
DOMOREAre : fonction trigonométrique 29-09-16 à 13:49

bonjour,
f est périodique et son domaine est\mathbb{R} car les radicandes sont éléments de [0;1]
Ta dérivée est fausse car \sqrt{cos^2(x)}=|cos(x)| idem pour sin
pour la dérivée j'ai trouvé \frac{1}{2 \sqrt{2}}(\frac{cos(x)}{|cos(x)|}+\frac{sin(x)}{|sin(x)|}) sauf erreur

Posté par
alilou1923re : fonction trigonométrique 29-09-16 à 14:20

j'ai recommené ma derivée et j'ai trouvé
f'(x)=(1/2)((sinx/|sinx|)-(cosx/|cosx|))
peut on faire une restriction sur l'intervalle ?

Posté par
jsvdbre : fonction trigonométrique 29-09-16 à 14:50

On peut se tenter une réduction sur [0; 2]

Posté par
jsvdbre : fonction trigonométrique 29-09-16 à 15:21

Je trouve également f'(x) = \dfrac{-1}{2}(\dfrac{sin(x)}{|sin(x)|}-\dfrac{cos(x)}{|cos(x)|})

f'(x)= \begin{cases} \\ 0 & \text{ si } x \in ]0, \frac{\pi}{2}[ \cup ]\pi, \frac{3\pi}{2}[  \\ \\ 1& \text{ si } x  \in ] \frac{\pi}{2}, \pi[ \\ \\ -1& \text{ si } x \in ]\frac{3\pi}{2},2 \pi[ \\ \\ \end{cases}

Y'a plus qu'à intégrer par morceau et faire en sorte que la fonction trouvée soit continue et vaille -\frac{\pi}{4} en 0.

Posté par
DOMOREAre : fonction trigonométrique 29-09-16 à 15:25

bonjour,
oui erreur de signe de ma part.
es-tu certain de ton coeff devant, je trouve \frac{1}{2\sqrt{2}} ?
de toutes manière tu sépares [0;2\pi[ en [0,\pi/2[ \cup [\pi/2;\pi[\cup[\pi,3\pi/2[\cup [3\pi/2;2\pi[

Posté par
jsvdbre : fonction trigonométrique 29-09-16 à 16:01

Oui, je confirme le coefficient -1/2 (ou 1/2, c'est selon l'intérieur des parenthèses).

Posté par
alilou1923re : fonction trigonométrique 29-09-16 à 19:27

merci  beaucoup tout le monde .


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