Bonsoir à tous,
Je vous écris car je galère sur un exo...
Voici l'énoncé :
Soit f:[a,b]->R une application de classe C2 tq :
f différent de 0, f(a)=f(b), f+f'' <= 0, f>=0.
Montrer que b-a <= pi
De mon côté voici ce que j'ai fait :
j'ai dit que comme f est continue et positive et qu'elle s'annule à ses bornes tout en n'étant pas la fonction nulle, il existe un c dans [a,b] tel que f croissante sur [a,c] et décroissante sur [c,b] et admet un max en x=c. J'en déduis que f'(c) = 0 et comme f+f''<=0 et f>=0 alors f''<=0 donc f' décroissante sur [a,b]
Voilà, à part ces tableaux de var/signes, je n'arrive pas à aller plus loin. Surtout, je ne comprends d'où sort le pi de l'énoncé...
Pourriez-vous m'aider ?
En vous remerciant
NB
Bonjour,
Je ne comprends pas ta démonstration de f' décroissante.
On peut trouver le signe de f" avec
f 0 et f+f" 0.
Je ne vais pas être très disponible aujourd'hui.
Mais d'autres aidants vont passer
Bonjour !
En notant tu peux calculer en fonction de en résolvant l'équation différentielle .
Alors en écrivant tu devrais voir apparaître (sauf erreur) dans une inégalité.
Oui, à chaque fois qu'on te parle de f + f'' avec éventuellement des constantes qui trainent, il faut que tu penses à l'équation du pendule avec approximation des petits angles : et dont les solutions sont données par où la pulsation dans le cas présent vaut 1, et la période
Bonsoir
Voilà un topic que j'ajouterai volontier à mes favoris
Je suppose bien entendu que et je note (comme le suggère luzak que je salue !) .
La fonction est (par hypothèse) supposée continue et négative ou nulle sur .
Distinguons alors deux cas :
est identiquement nulle.
Dans ce cas serait solution sur de l'équation différentielle
dont les solutions maximales (sur ) sont les fonctions,
qui vérifient toutes, pour tout réel , ce qui implique que toute solution maximale non nulle de
change de signe (strictement) sur tout segment d'amplitude strictement supérieure à ,
et comme est (par hypothèse) positive sur on conclut que .
n'est pas identiquement nulle.
Raisonnons alors par l'absurde en supposant ce qui s'écrit aussi .
Par ailleurs il n'est pas difficile de vérifier que la fonction
est solution sur de l'équation différentielle et donc la fonction est solution sur de
d'où l'existence de deux constantes réelles et telles que
d'où en particulier quantité à la fois positive et négative donc nulle,
et par positivité de l'intégrale et continuité de on conclut que est identiquement nulle sur pour tout ... sauf erreur de ma part bien entendu
Bonjour elhor_abdelali,
je suis d'accord avec toi, ta preuve est correcte et l'hypothèse est superflue.
Bonjour jandri et elhor_abdelali
Une autre preuve que la condition est sans intérêt :
Si est une solution avec c'est une fonction concave et positive. En considérant une fonction affine non constante positive sur l'intervalle on a encore pour une fonction positive, de classe vérifiant et .
Bonjour,
Jolie la démonstration avec cette fonction g pas évidente
J'ai été un peu perturbée par ces x et t mélangés dans les intégrales
Mais j'ai fini par réussir à me sortir de "il n'est pas difficile de vérifier" puis de "d'où en particulier".
Je crains cependant que quelque chose m'échappe avec
Sylvieg a écrit :
Ceci dit, il est néanmoins vrai qu'on peut adopter un autrement cheminement de raisonnement qu'est le suivant :
On raisonne par l'absurde dès le début en supposant .
On montre que est identiquement nulle sur . (voir preuve du cas )
On montre qu'alors . (voir preuve du cas ) sauf erreur de ma part bien entendu
Mon cheminement est un peu différent, en commençant par :
D'après , si b-a > alors est nulle sur [a; b].
D'après , si est nulle sur [a; b] alors b-a .
On en déduit b-a
Il me semble inutile de supposer non nulle pour la démonstration du .
Mais j'ai peut-être raté quelque chose.
Messages croisés et quasi identiques
J'ai mis du temps à essayer d'être claire...
Bonne fin de soirée.
J'ai hésité à revenir à cet exercice mais je pense l'étoffer(?) par cet énoncé :
On considère les réels et l'ensemble des fonctions réelles de classe sur positives et non nulles vérifiant négative.
1. Montrer que si la fonction est identiquement nulle.
En déduire lorsque
2. Les réels positifs étant donnés montrer que si il existe une infinité de fonctions vérifiant .
3. Trouver les éléments de qui sont restrictions à de polynômes de degré 2.
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