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Niveau Maths sup
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Fonction usuelle

Posté par
NapoleonDuRoy
08-11-23 à 22:45

Bonsoir à tous,
Je vous écris car je galère sur un exo...
Voici l'énoncé :
Soit f:[a,b]->R une application de classe C2 tq :
f différent de 0, f(a)=f(b), f+f'' <= 0, f>=0.
Montrer que b-a <= pi

De mon côté voici ce que j'ai fait :
j'ai dit que comme f est continue et positive et qu'elle s'annule à ses bornes tout en n'étant pas la fonction nulle, il existe un c dans [a,b] tel que f croissante sur [a,c] et décroissante sur [c,b] et admet un max en x=c. J'en déduis que f'(c) = 0 et comme f+f''<=0 et f>=0 alors f''<=0 donc f' décroissante sur [a,b]
Voilà, à part ces tableaux de var/signes, je n'arrive pas à aller plus loin. Surtout, je ne comprends d'où sort le pi de l'énoncé...

Pourriez-vous m'aider ?
En vous remerciant
NB

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction usuelle 09-11-23 à 08:06

Bonjour,
Je ne comprends pas ta démonstration de f' décroissante.
On peut trouver le signe de f" avec
f 0 et f+f" 0.

Je ne vais pas être très disponible aujourd'hui.
Mais d'autres aidants vont passer

Posté par
luzak
re : Fonction usuelle 09-11-23 à 09:27

Bonjour !
En notant \varphi(t)=f(t)+f''(t) tu peux calculer f en fonction de \varphi en résolvant l'équation différentielle y''+y=\varphi(x).
Alors en écrivant f(b)-f(a)=0 tu devrais voir apparaître (sauf erreur) \sin(b-a) dans une inégalité.

Posté par
Ulmiere
re : Fonction usuelle 09-11-23 à 12:50

Oui, à chaque fois qu'on te parle de f + f'' avec éventuellement des constantes qui trainent, il faut que tu penses à l'équation du pendule avec approximation des petits angles : \ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0 et dont les solutions sont données par \theta(t) = A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) où la pulsation dans le cas présent vaut 1, et la période 2\pi

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Fonction usuelle 11-11-23 à 01:05

Bonsoir

Voilà un topic que j'ajouterai volontier à mes favoris

Je suppose bien entendu que \boxed{a<b} et je note (comme le suggère luzak que je salue !) \boxed{\varphi=f+f''}.

La fonction \varphi est (par hypothèse) supposée continue et négative ou nulle sur [a,b].

Distinguons alors deux cas :

\boxed{1} \varphi est identiquement nulle.

Dans ce cas f serait solution sur [a,b] de l'équation différentielle \boxed{(E):y+y''=0}

dont les solutions maximales (sur \mathbb R) sont les fonctions, y:x\mapsto A\cos(x)+B\sin(x)

qui vérifient toutes, y(x+\pi)=-y(x) pour tout réel x, ce qui implique que toute solution maximale non nulle de (E)

change de signe (strictement) sur tout segment d'amplitude strictement supérieure à \pi,

et comme f est (par hypothèse) positive sur [a,b] on conclut que \red\boxed{b-a\leqslant\pi}.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Fonction usuelle 11-11-23 à 02:03

\boxed{2} \varphi n'est pas identiquement nulle.

Raisonnons alors par l'absurde en supposant \red\boxed{b-a>\pi} ce qui s'écrit aussi \boxed{a<b-\pi}.

Par ailleurs il n'est pas difficile de vérifier que la fonction \boxed{g:x\mapsto\int_a^x\varphi(t)\sin(x-t)dt}

est solution sur [a,b] de l'équation différentielle \boxed{y+y''=\varphi} et donc la fonction f-g est solution sur [a,b] de (E)

d'où l'existence de deux constantes réelles A et B telles que \boxed{\forall x\in[a,b]~,~f(x)=\int_a^x\varphi(t)\sin(x-t)dt~+~A\cos(x)+B\sin(x)}

d'où en particulier \boxed{\forall x\in[a,b-\pi]~,~f(x+\pi)+f(x)=\int_x^{x+\pi}\varphi(t)\sin(t-x)dt} quantité à la fois positive et négative donc nulle,

et par positivité de l'intégrale et continuité de \varphi on conclut que \varphi est identiquement nulle sur [x,x+\pi] pour tout x\in[a,b-\pi] ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Fonction usuelle 12-11-23 à 01:06

Si la preuve ci-dessus est correcte l'hypothèse f(a)=f(b) est superflue ! sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
jandri Correcteur
re : Fonction usuelle 15-11-23 à 22:27

Bonjour elhor_abdelali,

je suis d'accord avec toi, ta preuve est correcte et l'hypothèse f(a)=f(b) est superflue.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Fonction usuelle 15-11-23 à 23:09

Merci jandri pour la confirmation !

Posté par
luzak
re : Fonction usuelle 16-11-23 à 08:45

Bonjour jandri et elhor_abdelali
Une autre preuve que la condition f(a)=f(b) est sans intérêt :
Si f est une solution avec f(a)=f(b) c'est une fonction concave et positive. En considérant une fonction affine non constante  h positive sur l'intervalle on a encore pour g=f+h une fonction positive, de classe C^2vérifiant g+g''\leqslant0 et g(a)\neq g(b).

Posté par
luzak
re : Fonction usuelle 16-11-23 à 09:42

Mea culpa !
La fonction affine doit être choisie négative mais pas trop...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction usuelle 16-11-23 à 09:53

Bonjour,
Jolie la démonstration avec cette fonction g pas évidente

J'ai été un peu perturbée par ces x et t mélangés dans les intégrales
Mais j'ai fini par réussir à me sortir de "il n'est pas difficile de vérifier" puis de "d'où en particulier".
Je crains cependant que quelque chose m'échappe avec

Citation :
\boxed{2} \varphi n'est pas identiquement nulle.
Où est-ce utilisé ensuite ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Fonction usuelle 16-11-23 à 10:58

Sylvieg je te laisse trouver l'absurdité !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Fonction usuelle 16-11-23 à 21:37

Sylvieg a écrit :

Citation :
Je crains cependant que quelque chose m'échappe avec
Citation :
\boxed{2} \varphi n'est pas identiquement nulle.

Où est-ce utilisé ensuite ?


J'explique quand même le cheminement du raisonnement :


\boxed{1} En supposant \varphi nulle sur [a,b] (et en utilisant les hypothèses de l'exercice excepté l'hypothèse f(a)=f(b)), on montre que \boxed{b-a\leqslant\pi}.


\boxed{2} En supposant \varphi non identiquement nulle sur [a,b] (car c'est le cas qui nous reste à traiter), on montre (en utilisant les hypothèses à l'exception de f(a)=f(b))


qu'on ne peut pas avoir \red\boxed{b-a>\pi} car sinon on aboutirait à " \varphi identiquement nulle sur [x,x+\pi] pour tout x\in[a,b-\pi] "
et donc à l'absurdité " \varphi identiquement nulle sur \Large\boxed{\displaystyle\bigcup_{x\in[a,b-\pi]}[x,x+\pi]=[a,b]} ".

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Fonction usuelle 16-11-23 à 21:49

Ceci dit, il est néanmoins vrai qu'on peut adopter un autrement cheminement de raisonnement qu'est le suivant :


\bullet On raisonne par l'absurde dès le début en supposant \red\boxed{b-a>\pi}.

\bullet On montre que \varphi est identiquement nulle sur [a,b]. (voir preuve du cas \boxed{2})

\bullet On montre qu'alors \boxed{b-a\leqslant\pi}. (voir preuve du cas \boxed{1}) sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction usuelle 16-11-23 à 22:12

Mon cheminement est un peu différent, en commençant par \boxed{2} :
D'après \boxed{2}, si b-a > alors est nulle sur [a; b].
D'après \boxed{1}, si est nulle sur [a; b] alors b-a .
On en déduit b-a

Il me semble inutile de supposer non nulle pour la démonstration du \boxed{2}.
Mais j'ai peut-être raté quelque chose.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction usuelle 16-11-23 à 22:15

Messages croisés et quasi identiques
J'ai mis du temps à essayer d'être claire...
Bonne fin de soirée.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Fonction usuelle 16-11-23 à 22:56

On dit que " La simplicité ne précède pas la complexité, elle la suit "

Bonne fin de soirée Sylvieg

Posté par
luzak
re : Fonction usuelle 26-11-23 à 10:08

J'ai hésité à revenir à cet exercice mais je pense l'étoffer(?) par cet énoncé :
On considère les réels a,b;\,a<b et l'ensemble F des fonctions réelles de classe C^2 sur [a,b] positives et non nulles vérifiant f+f'' négative.
1. Montrer que si f\in F,\;b-a\geqslant\pi la fonction f+f'' est identiquement nulle.
En déduire F lorsque b-a\geqslant\pi
2. Les réels positifs a',b' étant donnés montrer que si b-a<\pi il existe une infinité de fonctions f vérifiant f\in F,\;f(a)=a',\,f(b)=b',\;\forall x\in]a,b[,\;f(x)+f''(x)<0.
3. Trouver les éléments de F qui sont restrictions à [a,b] de polynômes de degré 2.



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