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Fonction zeta de Riemann et dvpt en série entière
Bonjour tout le monde,
j'ai encore un soucis avec des série de fonctions.
Je dois montrer que y cotan y = 1 - 
(de n = 1 à 
) an y2n
et je doit préciser les an à l'aide de la fonction zeta de Riemann qui est : (rholala y a même pas de symbole zeta ^^)
(x) = (de n=1 à ) 1/nx
J'ai essayé de trouver le DL en 0 de cotan y et de y cotan y en dérivant la fonction on se retrouve avec du /sin y indéfini en 0.
Je suis aussi parti sur ce qu'on a démontré avant dans l'exo :
cotan (x) = 1/x + (de n=1 à ) 2x / (x²-n²)
En posant y = x et en multipliant par y/ j'obtient :
y cotan y = 1 + 2y²/n² * 1/((y/)²-n²)
En arrangeant un peu :
y cotan y = 1 - y2n * 2/(y2n((n/y)²-1))
Le problème c'est que je retrouve l'expression demandé avec un coefficient qui dépent de y !! ( et qui n'a pas vraiment rapport avec zeta ).
Je ne pense pas m'être trompé dans les calculs j'ai vérifié plusieurs foi et l'expression de départ que j'utilise est bonne aussi puisque je l'ai démontré dans le début de l'exo..
Soit il y a moyen d'arranger l'expression des coefficients que je trouve, soit il faut utiliser une autre méthode mais je ne vois pas vraiment ce que ça peut être.
Si vous avez des idées...
Bonjour SAKDOSS
Juste une idée : essaie de développer le terme général en série entière pour faire apparaître une somme double et ensuite, comme tout est positif, tu pourras intervertir les deux sommes.
Kaiser
Bonjour kaiser,
je vois ce que tu veut dire mais je n'arrive pas à avancer.
Je repart de l'expression ;
y cotan y = 1 + n=1 2/(1-(n/y)²
(dailleurs je me suis trompé tout à l'heure j'ai mit /n² au lien de /pi²)
je peut dire que 1/(1-(n/y)² = k=0(n/y)2k si y>n
(car c'est la somme des N 1ers termes d'une suite géométrique avec N tendant vers l'infini)
On a donc :
y cotan y = 1 + 2n=1 k=0(n/y)2k
On inverse les sommes car que des termes positifs :
y cotan y = 1 + 2 k=0n=1(n/y)2k
On sort ce qui ne dépend pas de n :
y cotan y = 1 + 2 k=0(/y)2kn=1(n)2k
D'une part j'ai du mettre la condition y >n et d'autre part je ne vois plus comment avancer à partir de là 
.
A part les suites géométriques et arithmétiques je ne vois pas vraiment d'autres méthodes pour développer en série entière.
Ou alors j'ai fait une erreur qqpart ?
Rhaaaa j'ai trouvé ^^.
En fait j'avais trop simplifié l'expression, en repartant de plus loin et en faisant apparaitre une 2eme somme ça marche tout seul !
Encore merci pour l'aide kaiser !! 
En fait.... ^^ j'ai encore un pti problème
je pars de cette expression : y cotan y = 1 - n=1 2(y/n)² * 1/(1-(y/n)²
je fait apparaitre une somme à partir d'une suite géométrique comme j'ai fait au dessus :
1/(1-(n/y)²) = k=1(n/y)2k
mais cette égalité n'est valable que si la raison de ma suite est < 1
donc y < n pi
Or cette inégalité n'est pas toujours vraie
car y 
-{t pi} avec avec t = 
et n 
*
Cela voudrais dire que mon résultat n'est vrai que pour y < n pi
Sinon je devrais ajouter le terme qnb de termes
(je pose a = y/pi n)
j'aurais donc 1/(1-a²) = limN-> ( (1-a2N)/(1-a²) + a2N/(1-a²))
= k=0 a2k + limN-> a2N/(1-a²)
Comme a > 1 la limite tend vers l'infini...
Bon j'ai sans doute pas été clair mais, est ce que ça suffit de dire que ça marche si y < n pi ou y a-t-il un moyen de montrer que ça marche même dans le cas contraire ?
Ici, n est variable, donc on doit avoir que et ce pour tout n entier naturel non nul.
Ceci est équivalent à .
Ensuite, ton problème n'en est pas vraiment un car on s'en tire avec la -périodicité de la fonction cotangente.
Kaiser
Ok.
Cela me fait bizarre d'utiliser la périodicité parce qu'il y a y en facteur devant cotan, mais en passant de l'autre coté ça marche.
Merci !
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