bonsoir, j'ai une question dans mon DM que je n'arrive pas à résoudre
voici l'énoncé:
sois f une fonction additive de R vers R surjective mais non injective
je viens de montrer qu'il existe un z>0 tel que f(z)=0
maintenant je veux montrer que pour a>0 il existe T tel que 0<T<a et f est T-périodique
en prenant T=z je montre que f(a+T)=f(a)+f(T)=f(a)+0
mon problème est que j'ai bien j'ai bien T>0 mais pas T<a et je ne sais pas comment montrer cette inégalité
merci de bien vouloir me donner un coup de pousse
PS la première question est de montrer que f est non continue j'ai pas franchement réussi mais je suis pas sur que cette hypothèse soit utile pour résoudre mon problème.
une fonction additive est pour tout réels x et y f(x+y)=f(x)+f(y)
je veux déduire de l'existence de mon z>0 que pour tout a>0 il existe un T pour avoir f T-périodique
Bonjour,
je suppose que tu appelles "fonction additive" une fonction qui vérifie .
Note: on a les propriétés suivantes, très classiques, à savoir redémontrer vie pour les fonctions additives:
(1)
(2)
(3) par récurrence
(4) D'après 3, si n>0, donc
(5) De même avec p,q entiers et :
On en tire:
1) Comme f est non injective, il existe d'après la propriété (2) avec
ou
, donc
convient, j'imagine que c'est ce que tu fais.
2) Je subodore que tu n'as pas recopié l'énoncé correctement. Ne dit-il pas plutôt: ?
C'est très différent d'être périodique! Ici T dépend de a. Dans la définition de la périodicité, les quantificateurs sont inversés (je prends ici les contraintes de ton énoncé): ?
En l'occurrence, ton idée de départ est bonne: on va utiliser le trouvé précédemment, mais bien évidemment la réponse doit dépendre de
car
n'est pas périodique en général !
Je ne te donne pas la réponse mais te conseille de regarder la suite . Que vaut
? Que se passe-t-il quand
?
P.S: Pour la non-continuité, c'est plus technique: je donne ci dessous les points essentiels de la preuve et je te laisse détailler un peu.
On a montré au point (5) que pour .Si par l'absurde f est continue, la densité de
dans
permet d'en déduite que
. On en tire que
est nécessairement affine, donc strictement monotone (sauf si
mais dans ce cas c'est la fonction nulle et elle n'est pas surjective). Une fonction continue strictement monotone est injective, ce qui est ABSURDE.
salut
une telle fonction (avec tes hypothèses) existe-t-elle ?
f(x + y) = f(x) + f(y)
déjà f(0) = 0 en prenant x = y = 0
ensuite f(0) = f(x) + f(-x) <==> f(x) = -f(-x) donc la fonction est impaire
donc en particulier f(x - y) = f(x) - f(y) aussi
enfin en prenant x = y alors f(2x) = 2f(x) et par récurrence f(nx) = nf(x)
puis qf((p/q)x) = f(q(p/q)x) = f(px) = pf(x) <==> f((p/q)x) = (p/q)f(x)
et par densité de Q dans R f(rx) = rf(x) à moins que cela ne puisse être conclu du fait que f n'est pas continue ....
la non injectivité de f nous dit donc qu'il existe u et v distincts tels que f(u) = f(v)
...
merci beaucoup pour vos aides je vais essayer de rédiger quelques choses avec tout cela! je pense pouvoir faire un truc!!
merci beaucoup pour le temps consacré et pour ces explications franchement très bien détaillées!
PS: une explication est souvent plus riche qu'une réponse donnée directement et ce n'est absolument pas ce que je cherche!
cordialement
euh j'ai un petit problème en fait je sais pas si Galileo Galilei tu me répondra mais je pose ma question quand même
disons que moi et la densité de Q dans R est une longue histoire semée d'embuche...
et je ne vois pas comme déduire que x
, f(x)=xf(1) cela me parait évident puisque c'est l'idée que j'avais pour une autre question mais je ne vois pas la valeur de l'argument Q dense dans R
merci
non !!!
on démontre que pour tout rationnel x f(x) = xf(1)
si f est continue alors la densité de Q te "force" à conclure que c'est vrai pour tout réel ...
mézalor f est bijective (puisque linéaire) ce qui est contraire à l'hypothèse "non injective"
On a un théorème qui dit que si 2 fonctions sont continues sur un ouvert et qu'elles coïncident en une sous-partie de cet ouvert, alors elles sont égales sur tout l'ensemble je crois.
ah ok merci carpediem en fait le résultat est simplement intuitif ? puisque c'est vrai pour toutrationnel et que pour tout réel on un un rationnel entre deux réel donc c'est vrai pour un tout réel est ce bien cela ?
désolé shouliga je ne connais pas les "ouverts"
C'est un intervalle ouvert simplement, ça va plus vite de dire ouvert.
Justement, ça n'est pas intuitif, c'est un théorème démontré
Bonsoir à tous,
je me permets d'apporter quelques précisions (je ne doute pas que carpediem a les idées claires sur le sujet mais au vu des formulations de shouliga et toto59 ce n'est pas inutile):
On dit qu'une application est continue en un point
de son intervalle de définition
si :
.
Une caractérisation équivalente est la suivante: .
La démonstration de l'équivalence de ces deux propositions n'est pas très difficile, toto59 je te conseille de regarder dans ton cours et surtout de comprendre en profondeur les manipulations des quantificateurs. Cela traduit simplement que si est proche de
, alors
est proche de
(FAIS UN DESSIN!).
En gros, la continuité (comme 90% du programme d'analyse de prépa...), c'est une propriété d'interversion: .
Dire qu'un ensemble est dense dans B (sinon ça n'a pas de sens), c'est dire qu'on peut toujours trouver des éléments de A aussi proches que l'on veut de n'importe quel élément de B. On peut donner deux définitions équivalentes (là encore, je t'encourage à vérifier à la main qu'elles sont bien équivalentes et à faire un dessin) (ici je donne l'exemple avec
et
):
(i)
(ii)
De là découle le dernier passage de la démo: Soit . Il existe
telle que
. On a alors :
(car on a démontré la propriété sur les rationnels!)
Le terme de droite tend vers par continuité et le terme de gauche vers
(là, la continuité n'intervient pas). Par unicité de la limite,
.
Pour reprendre la propriété de shouliga: On suppose que et
coincïdent sur
. Soit
, il existe
telle que
. Mais alors f(r_n)=g(r_n), et par continuité de
et
, on obtient f(x)=g(x) à la limite donc
et
coincïdent sur
.
Est ce que cela t'a éclairci ?
Par ailleurs, tu as résolu ton problème initial?
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