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Niveau Maths sup
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fonctiond additives

Posté par
toto59
18-01-14 à 18:18

bonsoir, j'ai une question dans mon DM que je n'arrive pas à résoudre

voici l'énoncé:
sois f une fonction additive de R vers R surjective mais non injective

je viens de montrer qu'il existe un z>0 tel que f(z)=0

maintenant je veux montrer que pour a>0 il existe T tel que 0<T<a et f est T-périodique
en prenant T=z je montre que f(a+T)=f(a)+f(T)=f(a)+0

mon problème est que j'ai bien j'ai bien T>0 mais pas T<a et je ne sais pas comment montrer cette inégalité

merci de bien vouloir me donner un coup de pousse

PS la première question est de montrer que f est non continue j'ai pas franchement réussi mais je suis pas sur que cette hypothèse soit utile pour résoudre mon problème.

Posté par
Camélia Correcteur
re : fonctiond additives 18-01-14 à 18:21

Bonjour

C'est quoi une fonction additive?

Posté par
idm
re : fonctiond additives 18-01-14 à 18:21

Salut,
tu veux montrer ça pour tout a ou ton a est fixé ?
Ton énoncé n'est vraiment pas très clair,

Posté par
toto59
re : fonctiond additives 19-01-14 à 12:19

une fonction additive est pour tout réels x et y f(x+y)=f(x)+f(y)

je veux déduire de l'existence de mon z>0 que pour tout a>0 il existe un T  pour avoir f T-périodique

Posté par
Galileo Galilei
re : fonctiond additives 19-01-14 à 12:53

Bonjour,

je suppose que tu appelles "fonction additive" une fonction qui vérifie \forall(x,y)\in\mathbb{R}^2, f(x+y)=f(x)+f(y).

Note: on a les propriétés suivantes, très classiques, à savoir redémontrer vie pour les fonctions additives:
(1) f(0+0)=f(0) \Rightarrow f(0)=0
(2) f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0 \Rightarrow f(-x)=-f(x)
(3)\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, f(nx)=nf(x) par récurrence
(4) D'après 3, si n>0, f(x)=f(\frac{nx}{n})=nf(x) donc f(\frac{x}{n})=\frac{f(x)}{n}
(5) De même avec p,q entiers et q \neq0: f(\frac{p}{q}x)=pf(\frac{1}{q}x)=\frac{p}{q}f(x)

On en tire:

1) Comme f est non injective, il existe x \neq y, f(x)=f(y)\Rightarrow f(y-x)=0 \text{ ET } f(x-y)=0 d'après la propriété (2) avec x-y>0 ou y-x>0, donc z=|y-x| convient, j'imagine que c'est ce que tu fais.

2) Je subodore que tu n'as pas recopié l'énoncé correctement. Ne dit-il pas plutôt: \forall a>0, \exists T \in ]0,a[, f(a+T)=f(a)?

C'est très différent d'être périodique! Ici T dépend de a. Dans la définition de la périodicité, les quantificateurs sont inversés (je prends ici les contraintes de ton énoncé):  \exists T \in ]0,a[, \forall a>0, , f(a+T)=f(a)?

En l'occurrence, ton idée de départ est bonne: on va utiliser le z trouvé précédemment, mais bien évidemment la réponse doit dépendre de a car f n'est pas périodique en général !

Je ne te donne pas la réponse mais te conseille de regarder la suite u_n=\frac{z}{n}. Que vaut f(u_n)? Que se passe-t-il quand n->+\infty?

P.S: Pour la non-continuité, c'est plus technique: je donne ci dessous les points essentiels de la preuve et je te laisse détailler un peu.

On a montré au point (5) que pour \forall r \in\mathbb{Q} , f(r)=rf(1).Si par l'absurde f est continue, la densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R} permet d'en déduite que \forall x \in\mathbb{Q} , f(x)=xf(1). On en tire que f est nécessairement affine, donc strictement monotone (sauf si f(1)=0 mais dans  ce cas c'est la fonction nulle et elle n'est pas surjective). Une fonction continue strictement monotone est injective, ce qui est ABSURDE.

Posté par
carpediem
re : fonctiond additives 19-01-14 à 13:04

salut

une telle fonction (avec tes hypothèses) existe-t-elle ?

f(x + y) = f(x) + f(y)


déjà f(0) = 0 en prenant x = y = 0


ensuite f(0) = f(x) + f(-x) <==> f(x) = -f(-x) donc la fonction est impaire

donc en particulier f(x - y) = f(x) - f(y) aussi


enfin en prenant x = y alors f(2x) = 2f(x) et par récurrence f(nx) = nf(x)

puis qf((p/q)x) = f(q(p/q)x) = f(px) = pf(x) <==> f((p/q)x) = (p/q)f(x)


et par densité de Q dans R f(rx) = rf(x) à moins que cela ne puisse être conclu du fait que f n'est pas continue ....


la non injectivité de f nous dit donc qu'il existe u et v distincts tels que f(u) = f(v)

...

Posté par
toto59
re : fonctiond additives 19-01-14 à 21:57

merci beaucoup pour vos aides je vais essayer de rédiger quelques choses avec tout cela! je pense pouvoir faire un truc!!
merci beaucoup pour le temps consacré et pour ces explications franchement très bien détaillées!

PS: une explication est souvent plus riche qu'une réponse donnée directement et ce n'est absolument pas ce que je cherche!

cordialement

Posté par
toto59
re : fonctiond additives 21-01-14 à 20:43

euh j'ai un petit problème en fait je sais pas si  Galileo Galilei tu me répondra mais je pose ma question quand même

disons que moi et la densité de Q dans R est une longue histoire semée d'embuche...

et je ne vois pas comme déduire que  x, f(x)=xf(1)  cela me parait évident puisque c'est l'idée que j'avais pour une autre question mais je ne vois pas la valeur de l'argument Q dense dans R

merci

Posté par
carpediem
re : fonctiond additives 21-01-14 à 20:53

non !!!

on démontre que pour tout rationnel x f(x) = xf(1)

si f est continue alors la densité de Q te "force" à conclure que c'est vrai pour tout réel ...

mézalor f est bijective (puisque linéaire) ce qui est contraire à l'hypothèse "non injective"

Posté par
shouliga
re : fonctiond additives 21-01-14 à 20:59

On a un théorème qui dit que si 2 fonctions sont continues sur un ouvert et qu'elles coïncident en une sous-partie de cet ouvert, alors elles sont égales sur tout l'ensemble je crois.

Posté par
shouliga
re : fonctiond additives 21-01-14 à 20:59

Edit: une sous-partie dense dans cet ouvert

Posté par
toto59
re : fonctiond additives 21-01-14 à 21:24

ah ok merci carpediem en fait le résultat est simplement intuitif ? puisque c'est vrai pour toutrationnel et que pour tout réel on un un rationnel entre deux réel donc c'est vrai pour un tout réel est ce bien cela ?

désolé shouliga je ne connais pas les "ouverts"

Posté par
shouliga
re : fonctiond additives 21-01-14 à 21:28

C'est un intervalle ouvert simplement, ça va plus vite de dire ouvert.
Justement, ça n'est pas intuitif, c'est un théorème démontré

Posté par
Galileo Galilei
re : fonctiond additives 21-01-14 à 23:13

Bonsoir à tous,

je me permets d'apporter quelques précisions (je ne doute pas que carpediem a les idées claires sur le sujet mais au vu des formulations de shouliga et toto59 ce n'est pas inutile):

On dit qu'une application f est continue en un point x de son intervalle de définition I si :\forall \varepsilon>0, \exist \delta >0, \forall y \in I, |y-x|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \varepsilon.
Une caractérisation équivalente est la suivante: \forall(x_n)\in I^\mathbb{N},\left(x_n \underset{n->+\infty}{\rightarrow} x \Rightarrow f(x_n) \underset{n->+\infty}{\rightarrow} f(x) \right).

La démonstration de l'équivalence de ces deux propositions n'est pas très difficile, toto59 je te conseille de regarder dans ton cours et surtout de comprendre en profondeur les manipulations des quantificateurs. Cela traduit simplement que si y est proche de x, alors f(y) est proche de f(x) (FAIS UN DESSIN!).

En gros, la continuité (comme 90% du programme d'analyse de prépa...), c'est une propriété d'interversion: \underset{n->+\infty}{lim}f(x_n)=f(\underset{n->+\infty}{lim}x_n).

Dire qu'un ensemble A est dense dans B (sinon ça n'a pas de sens), c'est dire qu'on peut toujours trouver des éléments de A aussi proches que l'on veut de n'importe quel élément de B. On peut donner deux définitions équivalentes (là encore, je t'encourage à  vérifier à la main qu'elles sont bien équivalentes et à faire un dessin) (ici je donne l'exemple avec \mathbb{Q} et \mathbb{R}):
(i) \forall x \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon>0, \exists r \in \mathbb{Q}, |x-r|<\varepsilon
(ii)\forall x \in \mathbb{R}, \exists (r_n) \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}, \underset{n->+\infty}{lim}r_n=x

De là découle le dernier passage de la démo: Soit x \in \mathbb{R}. Il existe (r_n) \in \mathbb{Q}^\mathbb{N} telle que \underset{n->+\infty}{lim}r_n=x. On a alors : f(r_n)=r_n f(1) (car on a démontré la propriété sur les rationnels!)
Le terme de droite tend vers f(x) par continuité et le terme de gauche vers xf(1) (là, la continuité n'intervient pas). Par unicité de la limite, f(x)=xf(1).

Pour reprendre la propriété de shouliga: On suppose que f et g coincïdent sur \mathbb{Q}. Soit x \in \mathbb{R}, il existe (r_n) \in \mathbb{Q}^\mathbb{N} telle que \underset{n->+\infty}{lim}r_n=x. Mais alors f(r_n)=g(r_n), et par continuité de f et g, on obtient f(x)=g(x) à la limite donc f et g coincïdent sur \mathbb{R}.

Est ce que cela t'a éclairci ?

Par ailleurs, tu as résolu ton problème initial?

Posté par
carpediem
re : fonctiond additives 22-01-14 à 16:31

oui ... et une remarque ne ce qui concerne f et g ...

on a directement le résultat (quand on le connaît bien sur mais qui se démontre plus ou moins de la même manière) que si f et g sont continues alors f - g aussi ...



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