Bonjour,

si f(-x)=f(x) alors f est paire
si f(-x)=-f(x) alors f est impaire

Ok mais comment calculer que x²-3x = -f(x) ou f(-x)?

salut

si f(x)=x²-3x, que vaut f(-x) ?

    Bonjour Clotilde. Ne prends pas d'exemple, car cela pourrait te tromper.
   Non, il suffit de prendre X...
f(x)  =  x² - 3x
f(-x) = (-x)² - 3(-x) = x² + 3x ... On voit tout de suite que le résultat est différent de f(x) .
Donc la fonction n'est pas paire.  J-L

Mais comment tu sais que le resultat x²+3x est different de f(x)?
Et si on prend f(x)= x  ³x³-2x (la racine cubique comprend x³-2x)?

Ca va donner f(-x)= x^{2 3}2x
Mais comment savoir si cela correspond a f(x) ou -f(x)?

Bonjour,

f(-x) n'est pas égal à ce que tu dis.

Donc... ?

J'arrive pas a resoudre tout ca. Je comprend pas du tout le sujet, je ne sais meme pas comment m'y prendre.

Donc f(-x) est égal à f(x), -f(x) ou aucun des deux ?

Ok, donc c'est paire...
Mais dans le cas precedent: x²+3x n'est pas egal a f(x) mais alors comment peut-on savoir s'il est egal ou pas a -f(x)?

f(x) = x² - 3x
f(-x) = x² + 3x

f(-x) n'est pas égal à f(x) pour tout x : prend par exemple x=1
f(-x) n'est pas égal à -f(x) pour tout x : prend par exemple x=1

Je ne comprend pas. Si on remplace x par 1
f -1= -f 1

Non.
f(-1) = (-1)² - 3(-1) = 1 + 3 = 4
-f(1) = -( 1 - 3) = 2

Ok. Merci beaucoup!

Je t'en prie.

Je pense que le problème vient du calcul de f(-x), c'est-à-dire de ce qu'est une fonction.
Pour tout x de l'intervalle de définition de f, on définit un procédé de calcul qui donne à x une image notée f(x). Le procédé peut par exemple être : "mettre le nombre au carré et l'enlever trois fois" ce qui se traduit par f(x) = x² - 3x.
* Si par exemple x = 2, on aura f(2) = 2² - 3*2 = -2 ; Si maintenant on veut calculer f(x) pour x = -2, on remplace x par -2 dans l'expression de f(x) ; soit : f(-2) = (-2)² - 3*(-2) = 10.
* Dans le cas général, pour calculer l'image de -x (c'est à dire l'image de l'opposé de x quand cette image est bien définie), on remplace juste les x de l'expression par des -x ; soit : f(-x) = (-x)² - 3*(-x) = x² + 3x.

Qu'est-ce qu'une fonction paire, une fonction impaire ?
* On dit qu'une fonction est paire si et seulement si son intervalle de définition est symétrique par rapport à 0 et que pour tout x de Df (on note Df l'intervalle de définition), f(x) = f(-x).
Quelques exemples : Si f(x) = x² ; alors f(-x) = (-x)² = x² = f(x). Donc f est paire. Cela signifie ici que deux nombres opposés ont même carré. Géométriquement la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe Oy des ordonnées.
La fonction g(x) = 1/(x-2) est définie pour tout x de R différent de 2 (sinon division par 0). Comme Df = ]-inf; 2[ U ]2; +inf[ n'est pas symétrique par rapport à 0 on peut immédiatement conclure que f n'est pas paire.

* On dit qu'une fonction est impaire si et seulement si son intervalle de définition est symétrique par rapport à 0 et que pour tout x de Df, f(x) = - f(-x) ce qui est équivalent à f(-x) = -f(x).
Quelques exemples : Si f(x) = x ; alors f(-x) = -x = - f(x). f est paire. Géométriquement la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine O.
La fonction g(x) = 1/x est définie sur R* (R privé de 0) et on a, pour tout x de R*, g(-x) = 1/(-x) = -1/x = -g(x) ; d'où g impaire.
La fonction h(x) = 1/(x-3) n'est pas impaire car son intervalle de définition (R privé de 3) n'est pas symétrique par rapport à 0.

Attention : Une fonction peut n'être ni paire ni impaire. C'est évident mais l'erreur est parfois commise.

Pour démontrer qu'une fonction est paire ou impaire, tu fais comme moi dans les exemples ci-dessus :
* D'abord tu regardes l'intervalle de définition de f. Soit f est définie partout sur R qui est bien symétrique par rapport à 0, soit sur un autre intervalle symétrique par rapport à 0. Tu le signales. Par exemple, f(x) = 1/(x² - 2) n'est pas définie pour x = -2 ou x = 2. Df est bien symétrique par rapport à 0.
* Ensuite seulement tu étudies f(-x). Si tu trouves f(-x) = f(x), tu conclus f paire ; si tu trouves f(-x) = -f(x), tu conclus f impaire.

Pour démontrer qu'une fonction n'est ni paire ni impaire (comme ta fonction), la méthode est plus simple :
* Soit l'intervalle de définition n'est pas symétrique par rapport à 0 et tu peux conclure. Ce n'est pas ton cas puisque Df = R.
* Soit tu exhibes un contre-exemple, c'est à dire une valeur de x telle que f(-x) différent de f(x) et de -f(x). On veut ici une valeur numérique, un exemple précis. Comme f(-2) = 10 et f(2) = -2 tu peux conclure car on a trouvé deux nombres opposés dont les images ne sont ni égales ni opposées.
La méthode qui consiste à exprimer f(-x) est moins rigoureuse car il n'est pas simple d'évaluer si deux expressions dépendant d'une variable sont égales ou opposées. N'écris donc pas : f(-x) = x² + 3x donc f(-x) différent de f(x) et f(-x) mais plutôt le contre-exemple avec x = 2.

Si tu as des questions, n'hésite pas. J'ai essayé de bien cibler ta difficulté.

    Je voudrais simplement répondre à ta question, relative à mon message de 14h47.

Tu me dis " Comment tu sais que ... " . Eh bien, voilà :
    j'ai d'un côté :  x² - 3x    ( x au carré moins 3 x )
    et ensuite     :  x² + 3x    ( x au carré plus  3 x )

Tu constates que (si x est différent de zéro) , les 2 expressions sont différentes, et donneront des résultats différents.  
    Je pense qu'il n'y a pas besoin, à ton niveau, de cours magistral pour démontrer cela...    J-L