a < b <= 3

F(a) = (a-3)²+1
F(b) = (b-3)²+1

F(a)-F(b) = (a-3)²+1-((b-3)²+1)
F(a)-F(b) = (a²-6a+9)+1-(b²-6b+9+1)
F(a)-F(b) = a²-6a-b²+6b
F(a)-F(b) = a²-b²-6a+6b
F(a)-F(b) = (a-b)(a+b)-6(a-b)
F(a)-F(b) = (a-b)(a+b-6)

et avec a < b -> a-b < 0
et avec a < b <= 3 -> a + b - 6 < 0

Donc F(a)-F(b) > 0
F(b) < F(a)

F est donc décroissante sur ]-oo ; 3]
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G(x) = (x+1)²-(x-2)²
G(x) = x²+2x+1-(x²-4x+4)
G(x) = 6x-3

C'est l'équation d'une droite à coefficient directeur positif -> G(x) est croissante.
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A toi de voir si les méthodes que j'ai employées te conviennent.


Sauf distraction.  

ok merci, mais pour comparer F(a) et F(b) sans leurs différences, on peut faire F(a)<F(b) et remplacer ensuite par (a-3)²+1<(b-3)²+1, ça marche aussi ?

Pour comparer 2 grandeurs, le plus facile est soit de chercher le signe de leur différence (F(a)-F(b)), soit d'étudier leur rapport (F(A)/F(B)) et de chercher si ce rapport est > ou < que 1.

On peut aussi supposer que F(a) < F(b) et montrer que cela aboutit à une évidence (ou a une absurdité).

Je trouve que c'est plus clair en étudiant la différence (ou le rapport) mais ce n'est qu'une opinion.

D'accord merci mais j'ai pas trop compris ceci: a < b <= 3 -> a + b - 6 < 0
Et pour G(x) comment on sait que la fonction est croissante ?

a < b <= 3
indique 2 choses:
a < 3
b <= 3

qu'on peut écrire:
a - 3 < 0
b - 3 <= 0

on ajoute ces 2 inégalités de même sens membres à membres ->

a - 3 + b - 3 < 0
a + b - 6 < 0
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Une droite (non // à l'axe des ordonnées) a pour équation: y = Ax + B

le coefficient "A" est appelé coefficient directeur de la droite.
Si A > 0, la fonction f(x) = Ax + B est croissante.
Si A = 0 , la fonction f(x) = Ax + B est constante.
Si A < 0, la fonction f(x) = Ax + B est décroissante.
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On peut le redémontrer même si c'est évident

G(x) = 6x-3

Avec a < b
G(a) = 6a - 3
G(b) = 6b - 3

G(a) - G(b) = 6a - 3 - 6b + 3
G(a) - G(b) = 6a - 6b
G(a) - G(b) = 6(a - b)

et comme a < b, on a a-b < 0 -->

G(a) - G(b) < 0
G(b) > G(a)
et G est croissante.

G est croissante même dans R, a fortiori, elle est croissante  dans I =[-2 ; 0]
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