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Fonctions
Bonsoir,
Je voulais savoir s'il étais possible de trouver le(s) maximum(s) et minimum(s) de'une fonction par le calcul... Car jusqu'à présent, nous ne l'avons fait que graphiquement.
Salut et merci d'avance,
Bcracker 
(voici un exemple plutôt simple : la fonction cosinus)
Je ne sais pas trop ce que tu raccontes davidk, mais ca ne me semble pas avoir beaucoup de sens..
Bcracker:
On a des méthodes assez simples en théorie, pour déterminer si une fonction admet ou non un minimum en un point.
On étudie notre fonction f.
A cette fonction f, on associe une nouvelle fonction que l'on appelle la dérivée de f (que l'on note f'). Cette nouvelle fonction, la dérivée, est très importante dans la compréhension des variations de f. Lorsque cette fonction existe, elle est unique, mais malheureusement elle n'existe pas toujours. (bien que dans les études d'exemples au lycée, elle existe toujours ou presque toujours)
L'avantage est que sur les intervalles de R, on a juste à regarder le signe de la dérivée f' pour savoir si la fonction f est croissante ou décroissante.
Sur un intervalle I=]a,b[, f' est positive signifie que f est croissante sur I. (et inversement si f' est négative, f est décroissante sur I).
On peut alors montrer assez facilement à partir de ces deux dernières remarques que si f possède un maximum (local) f est croissante juste avant ce maximum et est décroissante juste après. En fait, ca implique nécessairement que la dérivée f' s'annule en ce point et change de signe en ce point.
Ainsi pour trouver les extrema d'une fonction f, il suffit d'étudier les points qui annulent la dérivée f'.
Par exemple, si f(x)=x^2, la dérivée est f'(x)=2x (tu verras les méthodes de calcule de dérivée en 1e)
f' s'annule une seule fois, et c'est en 0.
Donc si f possède un extremum local, c'est forcément en 0. Mais f' change de signe autour de 0, donc on a bien un extremum. (en regardant le signe de la dérivée de la dérivée on peut savoir si c'est un maximum ou un minimum)
Un autre exemple, celui que tu nous cites:
Il faut savoir (ca ne s'invente pas) que la dérivée de cos est -sin
-sin(x) s'annule si et seulement si x est multiple de pi. Il est facile de voir que ce sont effectivement bien les extrema locaux de cos.
En espérant avoir été clair.
A+
Bonjour,
Un élève de seconde ne peut pas utiliser la notion de dérivée.
La seule façon de démontrer que la fonction cosinus admet un maximum en zéro consiste à utiliser la définition du cosinus : dans un repère (O,i,j), si x est un réel et si M est le point du cercle trigonométrique tel que l'angle (i,OM)=x alors les coordonnées de M sont (cos x; sin x).
L'abscisse du point M est donc forcément comprise entre -1 et 1... et le maximum est 1 lorsque les vecteurs i et OM sont confondus (x=0).
Mais ca n'empeche pas de lui expliquer comment on est capable de trouver les extrema, comme il le demande...
). Je vais essayer de les exploiter au mieux.
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