Énoncé :

Déterminer toutes les fonctions f définies sur R et à valeurs dans R vérifiant la relation (E) :
pour tous réels x et y, f(y²+2xf(y)+f(x)²)=(y+f(x))(x+f(y)).
1) Vérifier que la fonction affine x->1/2-x est solution de (E).
Trouver deux autres fonctions solutions de (E).
Dans tout ce qui suit f désigne une solution de (E).
2) Montrer qu'il existe un réel a tel que f(a)=0.
3) Montrer qu'il existe un seul réel a tel que f(a)=0.
4) Montrer que pour tout réel x on a f(x)²+xf(-f(x))=a/2.
5) Montrer que f(x)=f(y) implique x=y ou x=-y.
6) Montrer que pour tous réels x et y on a y²+2xf(y)+f(x)²=x²+2yf(x)+f(y)²
7) Montrer que pour tout réel x, on a f(x)=s(x)(f(0)-x) avec s(x)=-1 ou 1.
8) Conclure.