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Fonctions

Posté par
CapitainePois
29-11-22 à 19:00


Bonjour à tous!

Alors voilà j'ai un exercice à faire or je bloque à la première question:

Soit g(x)=e^(x(2))/x

Montrer que pour tout x<0, g(x)<=x+(1/x)

J'ai essayé de calculer la dérivée, mais celle-ci est très compliquée et donc impossible d'étudier son signe.

On me demande ensuite d'en déduire la limite de g en -infini, donc grâce au théorème de comparaison avec la première question.

Montrer que pour tout réel x non nul, g'(x) a le même signe que 2x^2-1

Encore une fois je ne sais somment procéder… J'ai encore essayé  de calculer la dérivée mais son signe est impossible à étudier…

Si quelqu'un peut m'aider, cela serait super

Merci d'avance!

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 29-11-22 à 19:03

Petite précision: j'ai essayé de calculer la dérivée de g(x)-x-(1/x), mais le signe est impossible à étudier…

Posté par
carpediem
re : Fonctions 29-11-22 à 19:13

salut

l'expression de la fonction g n'estpas compréhensible ...

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 29-11-22 à 19:19

Re,

Désolé! La voici en LaTex: g(x)=\frac{e^x^2}{x} (le x dans l'exponentielle est au carré)!

Posté par
larrech
re : Fonctions 29-11-22 à 19:20

Bonjour,

Serait-ce g(x)=\dfrac{e^{x^2}}{x} ?

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 29-11-22 à 19:21

Bonjour larrech,

Oui, c'est exactement ça! (désolé encore)

Posté par
larrech
re : Fonctions 29-11-22 à 19:34

Pour la première question. Que deviendrait l'inégalité à démontrer si on la multipliait par x ? Attention, on suppose x<0.

Qu'as-tu obtenu comme dérivée de g ?

Je ne vais pas pouvoir rester longtemps.

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 29-11-22 à 19:49

Re,

Si on multiplie par x de chaque côté, on obitent:

e^x^2 et x^2+x

Et c'est à ce moment-ci que je devrais étudier la dérivée de e^x^2-x^2-x ?

Pour g'(x), on trouve \frac{e^x^2(2x^2-1) }{x^2}

Ainsi, je pourrai ici étudier les signes de cette fonction et de 2x^2-1

Posté par
carpediem
re : Fonctions 29-11-22 à 19:55

en posant f(x) = x + 1/x alors on peut remarquer que les fonctions f et g sont impaires ...

donc il revient au même de montrer que si x > 0 alors g(x) f(x)

et il est toujours plus agréable de travailler avec des réels positifs ...

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 29-11-22 à 20:02

Re Carpediem,

En effet, ces deux fonctions sont impaires.

Cependant, quelle est la démarche pour le démontrer?



Par ailleurs, j'ai également essayé de dériver  e^x^2-x^2-x:

2(e^x^2-1)x-1

2>0
e^x^2>1 donc e^x^2-1)x-1>0
x négatif donc (e^x^2-1)x<0

Ainsi, produit d'un positif, d'un positif, et d'un négatif toujours négatif et on soustrait encore 1, donc toujours négatif?

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 29-11-22 à 20:04

petite rectification (désolé j'apprends à prendre en main le LaTex):

e^x^2>1 donc e^x^2-1>0

Posté par
alb12
re : Fonctions 29-11-22 à 20:29

salut,
tu as bien fait de suivre la voie ouverte par larrech mais revois ton calcul.

Posté par
malou Webmaster
re : Fonctions 29-11-22 à 20:33

Bonsoir
CapitainePois pour écrire e^{x^2} le code est e^{x^2}

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 29-11-22 à 20:37

Oh !

Je viens de voir que j'ai fait une erreur toute bête. En effet : on a e^x^2-x^2-1 et non  e^x^2-x^2-x

Du coup on trouve comme dérivée :

2(e^x^2-1)x

2>0

e^x^2-1>0 sauf en x=0 (même si valeur interdite) où 2(e^0^2-1)x=2*0*0=0
x<0

Ainsi, 2(e^x^2-1)x<0 sauf en x=0 où elle admet un minimum qui vaut 0

Ainsi, g(x)-1-(1/x) est décroissante pour x<0, et admet un minimum en x=0 qui vaut 0

on a donc : g(x)-1-\frac{1}{x}<0

g(x)-1<\frac{1}{x}

g(x)<1+\frac{1}{x}

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 29-11-22 à 20:43

Bonsoir Malou!

Merci de l'indication, j'étais en train d'écrire mon message lorsque tu as posté le tiens, je ne l'avais donc pas vu.

Voici donc le message que j'ai publié avant, mais avec les carrés bien placés!:

on a e^{x^2}-x^2-1 et non  e^{x^2}-x^2-x

Du coup on trouve comme dérivée :

2(e^{x^2}-1)x

2>0

e^{x^2}-1>0 sauf en x=0 (même si valeur interdite) où 2(e^{0^2}-1)x=2*0*0=0
x<0

Ainsi, 2(e^{x^2}-1)x<0 sauf en x=0 où elle admet un minimum qui vaut 0

Ainsi,g(x)-1-\frac{1}{x} est décroissante pour x<0, et admet un minimum en x=0 qui vaut 0

on a donc : g(x)-1-\frac{1}{x}<0

g(x)-1<\frac{1}{x}

g(x)<1+\frac{1}{x}

Posté par
larrech
re : Fonctions 29-11-22 à 23:01


Citation :
Ainsi,g(x)-1-\frac{1}{x} est décroissante pour x<0, et admet un minimum en x=0 qui vaut 0
Non, c'est faux. De plus 1/x n'est pas défini en 0.

Pourtant tu y étais presque.

On pose  f(x)=xg(x) -x^2-1

On étudie les variations de  f et l'on montre qu'elle admet un minimum en 0 (c'est ce que tu as pratiquement fait)

On en déduit que pour tout x, xg(x)\geq x^2+1

On suppose x non nul et on divise par x, en distinguant le cas x>0 et le cas x<0

A toi de remettre tout ça en forme proprement.

Posté par
alb12
re : Fonctions 30-11-22 à 09:40

"Montrer que pour tout x<0, g(x)<=x+(1/x)"
l'enonce precise x<0

Posté par
larrech
re : Fonctions 30-11-22 à 11:23

Effectivement, le cas x<0 suffit puisque c'est ce qui est dans l'énoncé.

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 30-11-22 à 11:53

Re!

Je reprends donc:

on a:f(x)= xg(x) -x^2-1

Soit: f(x)= e^{x^2} -x^2-1

On dérive: f'(x)= 2x(e^{x^2} -1)

(e^{x^2}>1 pour tout x<0 donc  2x(e^{x^2} -1)>0 pour  tout x<0

Donc le signe de f'(x) dépend de celui de 2x

x<0 donc 2x<0

Ainsi, f'(x) est tout le temps négative pour x<0

je ne vois pas une autre façon qu'en calculant f(0) pour montrer le minimum... à part également étudier pour x>0 et montrer que cette fonction est croissante et admet également un minimum en x=0

en admettant donc que le minimum de f(x) est 0 en x=0, on a

e^{x^2} -x^2-1<=0

e^{x^2} -x^2<=1

e^{x^2} <=x^2+1

On divise par x de chaque côté:

\frac{e^{x^2}}{x} <=x+\frac{1}{x}

Soit: g(x)<=x+\frac{1}{x}}

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 30-11-22 à 12:00

Re,

Correction:

e^{x^2} -x-\frac{1}{x}}=>0

e^{x^2} =>x+\frac{1}{x}}

On multiplie par x<0 donc changement de sens de l'inégalité:

e^{x^2} <=x+\frac{1}{x}}

Soit: \frac{e^{x^2}}{x}<=x^2-1

Reste à voir si le calcul de f(0) est suffisant... je ne vois pas comment faire d'autre

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 30-11-22 à 12:04

Re,

Correction de la correction (j'ai des difficultés avec le LaTex):

e^{x^2} -x^2-1=>0
 \\
e^{x^2} =>x^2+1
 \\
On multiplie par x<0 donc changement de sens de l'inégalité:

\frac{e^{x^2}}{x}<=x+\frac{1}{x}}

Soit: g(x)<=x+\frac{1}{x}

Reste à voir si le calcul de f(0) est suffisant... je ne vois pas comment faire d'autre

Posté par
larrech
re : Fonctions 30-11-22 à 12:05

Tu persistes dans ton erreur!

Pour x<0, f est décroissante de + à 0.

Donc, sur l'intervalle ]-, 0]

e^{x^2} -x^2-1{\red{\geq}}0

e^{x^2} -x^2{\red{\geq}}1

e^{x^2}{\red{\geq}} x^2+1

contrairement à ce que tu as écrit.

Ensuite, je te rappelle que quand on divise une inégalité par un nombre négatif non nul, l'inégalité change de sens.

Posté par
larrech
re : Fonctions 30-11-22 à 12:06

Ah, entre temps tu avais rectifié, alors nous sommes d'accord.

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 30-11-22 à 13:16

Super, Merci!

Juste dernière petite question:

Pour montrer que le minimum vaut 0, comment faut il faire?

Faut-il:

- Comme je l'ai dit précédemment, également étudier le signe de la dérivée sur ]0;+inf[ et montrer que celle-ci est croissante et admet un minimum "proche" de 0

- Ou il faut utiliser ce que tu as dit ici: "Ensuite, je te rappelle que quand on divise une inégalité par un nombre négatif non nul, l'inégalité change de sens."
-> Cela veut donc dire que si on divise par x avec  x>0, alors on aura:

e^{x^2} -x^2-1\geq}0

e^{x^2} -x^2\geq}1
 \\

e^{x^2}{\geq} x^2+1
 \\

x>0, alors:

\frac{e^{x^2}}{x}\geq}x+\frac{1}{x}}      (l'égalité ne change pas de sens car x>0)

Soit: g(x)\geq}x+\frac{1}{x}

Posté par
larrech
re : Fonctions 30-11-22 à 13:49

Comme l'énoncé se limite au cas x<0, tu en restes à ce que tu avais fait.

C'est moi qui ai élargi la question à x>0 mais comme l'a fait remarquer alb12, c'est inutile.

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 30-11-22 à 14:13

Il y a peut-être quelque chose qui m'est passé sous le nez, mais comment savoir (et montrer) que:


e^{x^2} -x^2-1\geq}}0

De plus, tu as marqué "Pour x<0, f est décroissante de +inf à 0": ne serait-ce pas de -inf à 0?

De plus, comment obtenir le "<=0"? En effet: on a ici le 0 car 0 serait le minimum... Or, comment le démontrer sans pouvoir faire f(0) puisque x<0...

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 30-11-22 à 14:14

*On a e^{x^2} -x^2-1\geq}}0
 \\

Posté par
CapitainePois
re : Fonctions 30-11-22 à 15:10

Après ÉNORMÉMENT de temps de réflexion, je viens de comprendre, et cette technique, que je n'avais jamais vu avant, est très utile.

J'explique

On veut montrer que g(x)g(x)<=x+\frac{1}{x} donc que

\frac{e^{x^2}}{x}<=x+\frac{1}{x}

Soit i une fonction telle que i(x)=x(g(x)-x-\frac{1}{x})=e^{x^2}-x^2-1

i peut être définie sur R car aucune valeur interdite n'existe

On la dérive et on a:

i'(x)=2x(e^{x^2}-1)

On étudie le signe de sa dérivée sur R et donc ses variations, on a:

Décroissante sur -inf;0
croissante sur +inf; 0
admet un minimum en x=0 où i(0)=0

On a donc pour tout réel x, e^{x^2}-x^2-1=>0

Soit: e^{x^2}=>x^2+1

Or, i(x)= x(g(x)-x-1/x), donc

Cas où x<0:

on a:

e^{x^2}=>x^2+1

\frac{e^{x^2}}{x}<=x+\frac{1}{x} (change de senscar x<0

Cas où x>0:


\frac{e^{x^2}}{x}=>x+\frac{1}{x} (change pas de sens car x>0)



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