Petite précision: j'ai essayé de calculer la dérivée de g(x)-x-(1/x), mais le signe est impossible à étudier…

salut

l'expression de la fonction g n'estpas compréhensible ...

Re,

Désolé! La voici en LaTex: (le x dans l'exponentielle est au carré)!

Bonjour,

Serait-ce ?

Bonjour larrech,

Oui, c'est exactement ça! (désolé encore)

Pour la première question. Que deviendrait l'inégalité à démontrer si on la multipliait par x ? Attention, on suppose x<0.

Qu'as-tu obtenu comme dérivée de g ?

Je ne vais pas pouvoir rester longtemps.

Re,

Si on multiplie par x de chaque côté, on obitent:

et

Et c'est à ce moment-ci que je devrais étudier la dérivée de ?

Pour g'(x), on trouve

Ainsi, je pourrai ici étudier les signes de cette fonction et de 2x^2-1

en posant f(x) = x + 1/x alors on peut remarquer que les fonctions f et g sont impaires ...

donc il revient au même de montrer que si x > 0 alors g(x) f(x)

et il est toujours plus agréable de travailler avec des réels positifs ...

Re Carpediem,

En effet, ces deux fonctions sont impaires.

Cependant, quelle est la démarche pour le démontrer?



Par ailleurs, j'ai également essayé de dériver  :



2>0

x négatif donc

Ainsi, produit d'un positif, d'un positif, et d'un négatif toujours négatif et on soustrait encore 1, donc toujours négatif?

petite rectification (désolé j'apprends à prendre en main le LaTex):

donc

salut,
tu as bien fait de suivre la voie ouverte par larrech mais revois ton calcul.

Bonsoir
CapitainePois pour écrire le code est e^{x^2}

Oh !

Je viens de voir que j'ai fait une erreur toute bête. En effet : on a et non   …

Du coup on trouve comme dérivée :



2>0

sauf en x=0 (même si valeur interdite) où
x<0

Ainsi, sauf en x=0 où elle admet un minimum qui vaut 0

Ainsi, est décroissante pour x<0, et admet un minimum en x=0 qui vaut 0

on a donc :

Bonsoir Malou!

Merci de l'indication, j'étais en train d'écrire mon message lorsque tu as posté le tiens, je ne l'avais donc pas vu.

Voici donc le message que j'ai publié avant, mais avec les carrés bien placés!:

on a et non  …

Du coup on trouve comme dérivée :



2>0

sauf en x=0 (même si valeur interdite) où
x<0

Ainsi, sauf en x=0 où elle admet un minimum qui vaut 0

Ainsi, est décroissante pour x<0, et admet un minimum en x=0 qui vaut 0

on a donc :

"Montrer que pour tout x<0, g(x)<=x+(1/x)"
l'enonce precise x<0

Effectivement, le cas x<0 suffit puisque c'est ce qui est dans l'énoncé.

Re!

Je reprends donc:

on a:

Soit:

On dérive:

pour tout x<0 donc   pour  tout x<0

Donc le signe de f'(x) dépend de celui de 2x

x<0 donc 2x<0

Ainsi, f'(x) est tout le temps négative pour x<0

je ne vois pas une autre façon qu'en calculant f(0) pour montrer le minimum... à part également étudier pour x>0 et montrer que cette fonction est croissante et admet également un minimum en x=0

en admettant donc que le minimum de f(x) est 0 en x=0, on a







On divise par x de chaque côté:



Soit:

Re,

Correction:





On multiplie par x<0 donc changement de sens de l'inégalité:



Soit:

Reste à voir si le calcul de f(0) est suffisant... je ne vois pas comment faire d'autre

Re,

Correction de la correction (j'ai des difficultés avec le LaTex):



On multiplie par x<0 donc changement de sens de l'inégalité:



Soit:

Reste à voir si le calcul de f(0) est suffisant... je ne vois pas comment faire d'autre

Tu persistes dans ton erreur!

Pour x<0, f est décroissante de + à 0.

Donc, sur l'intervalle ]-, 0]







contrairement à ce que tu as écrit.

Ensuite, je te rappelle que quand on divise une inégalité par un nombre négatif non nul, l'inégalité change de sens.

Ah, entre temps tu avais rectifié, alors nous sommes d'accord.

Super, Merci!

Juste dernière petite question:

Pour montrer que le minimum vaut 0, comment faut il faire?

Faut-il:

- Comme je l'ai dit précédemment, également étudier le signe de la dérivée sur ]0;+inf[ et montrer que celle-ci est croissante et admet un minimum "proche" de 0

- Ou il faut utiliser ce que tu as dit ici: "Ensuite, je te rappelle que quand on divise une inégalité par un nombre négatif non nul, l'inégalité change de sens."
-> Cela veut donc dire que si on divise par x avec  x>0, alors on aura:







x>0, alors:

     (l'égalité ne change pas de sens car x>0)

Soit:

Comme l'énoncé se limite au cas x<0, tu en restes à ce que tu avais fait.

C'est moi qui ai élargi la question à x>0 mais comme l'a fait remarquer alb12, c'est inutile.

Il y a peut-être quelque chose qui m'est passé sous le nez, mais comment savoir (et montrer) que:


e^{x^2} -x^2-1\geq}}0

De plus, tu as marqué "Pour x<0, f est décroissante de +inf à 0": ne serait-ce pas de -inf à 0?

De plus, comment obtenir le "<=0"? En effet: on a ici le 0 car 0 serait le minimum... Or, comment le démontrer sans pouvoir faire f(0) puisque x<0...

*On a

Après ÉNORMÉMENT de temps de réflexion, je viens de comprendre, et cette technique, que je n'avais jamais vu avant, est très utile.

J'explique

On veut montrer que g(x) donc que



Soit i une fonction telle que

i peut être définie sur R car aucune valeur interdite n'existe

On la dérive et on a:



On étudie le signe de sa dérivée sur R et donc ses variations, on a:

Décroissante sur -inf;0
croissante sur +inf; 0
admet un minimum en x=0 où i(0)=0

On a donc pour tout réel x,

Soit:

Or, i(x)= x(g(x)-x-1/x), donc

Cas où x<0:

on a:



(change de senscar x<0

Cas où x>0:


(change pas de sens car x>0)