Bonjour

f(x) = -2x² + 8x plutôt non ?

- Question 1 -
f(x) = -2x(x - 4)


- Question 2 -
Soit a et b deux reéls de ]-; 2] tels que a < b :
f(a) - f(b)
= -2a² + 8a + 2b² - 8b
= -2(a² - b²) + 8(a - b)
= -2(a - b)(a + b) + 8(a - b)
= (a - b)(-2a - 2b + 8)

Comme a < b, alors
a - b < 0

Comme a et b sont éléments de ]-; 2],
alors :
a 2
et
b < 2

Donc :
-2a -4
et
-2b > -4

Donc :
-2a - 2b > -8
-2a - 2b + 8 > 0

D'où :
f(a) - f(b) < 0
f(a) < f(b)

f est donc croissante sur ]-; 2].


- Question 3 -
Sur le même modèle que ce qui a été fait précédemment, tu peux répondre
à cette question.
(elle est décroissante et non croissante !)


- Question 4 -
Comme f est croissante sur ]-; 2] et décroissante sur
[2; +[, alors f admet un maximum en 2.


- Question 5 -
Et ce maximum vaut :
f(2) = -2 × 2² + 8×2
= 8


- Question 6 -
f(x) - f(2)
= -2x² + 8x - 8
= -2(x² - 4x + 4)
= -2(x - 2)²

Comme (x - 2)²0 pour tout x réel,
alors
f(x) - f(2) 0
pour tout x réel


- Question 7 -
De
f(x) - f(2) 0
pour tout x réel
on en déduit que :
f(x) f(2)
pour tout x réel

Donc que
f admet un maximum en x = 2.


A toi de tout reprendre, bon courage ...