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Fonctions à deux variables

Posté par
Tedsoo 10-04-23 à 15:23

Bonjour,

je me permets de poster l'énoncé de l'exercice, puis mes propositions.

Soit f la fonction définie par : f(x;y)=x^{3}(y+1)-(y²x²) sur R²

1) f est-elle convexe, concave ? Justifiez.

Personnellement, je suis parti de l'étude des points critiques, puis de celle des extrema(s) locaux en utilisant le déterminant de la matrice hessienne.

\left\lbrace\begin{matrix}f'_{x}=0 \Leftrightarrow (y+1)3x²-2y²x=0 \\ f'_{y}=0 \Leftrightarrow x^{3}-2yx²=0 \end{matrix}\right.

y=\frac{x}{2}

En remplaçant dans la première équation, je trouve : x=0 ou x= -3, d'où : y=0 ou y = -3/2

Nous avons donc deux points critiques : A ( 0;0) et B (-3; -3/2)

Pour A (0;0) :

D=f''_{x}(0;0)\times f''_{y}(0;0)-[f''_{y/x}(0;0)]²=0

J'en déduis qu'on ne peut pas conclure sur la nature de l'extrema.

Pour B (-3; -3/2) :

D= f''_{x}(-3;\frac{-3}{2})\times f''_{y}(-3;\frac{-3}{2})-[f''_{y/x}(-3;\frac{-3}{2})]=-162 <0

Il s'agit ici d'un point selle.

Par conséquent, j'en déduit que la fonction est convexe-concave.

2) Déterminer l'équation du plan tangent à la surface au voisinage de (1;0)

z = f(1;0)+(x-1)f'_{x}(1;0)+(y-0)f'_{y}(1;0) = 3x+y-2

3) La surface est-elle au-dessus ou en-dessous du plan tangent ?

Ici, je suis paumé; je ne sais pas du tout comment justifier.

Merci d'avance à toutes et à tous,

Cordialement,  

Posté par
carpediemre : Fonctions à deux variables 10-04-23 à 18:27

salut

Citation :
J'en déduis qu'on ne peut pas conclure sur la nature de l'extrema.
non on eut toujours conclure ... mais il faut aller plus loin

1/ il faut résoudre plus rigoureusement : x^3- 2x^2y = 0 \iff x^2(x - 2y) = 0 \if x = 0 $ ou $ y = 2x

2/ "il suffit" d'étudier le signe de f(x, y) - (3x + y - 2) ...

ou alors regarder ce qui se passe à l'ordre 2 en (1, 0)

Posté par
carpediemre : Fonctions à deux variables 10-04-23 à 18:28

carpediem @ 10-04-2023 à 18:27

salut

Citation :
J'en déduis qu'on ne peut pas conclure sur la nature de l'extrema.
non on eut toujours conclure ... mais il faut aller plus loin

1/ il faut résoudre plus rigoureusement : x^3- 2x^2y = 0 \iff x^2(x - 2y) = 0 \iff x = 0 $ ou $ y = 2x

2/ "il suffit" d'étudier le signe de f(x, y) - (3x + y - 2) ...

ou alors regarder ce qui se passe à l'ordre 2 en (1, 0)

Posté par
Tedsoore : Fonctions à deux variables 10-04-23 à 18:38

Merci Carpediem pour vos remarques.

1) Lorsque vous dites que si D= 0, on peut quand même déterminer la nature de l'extrema, qu'entendez-vous ?

2) Sommes-nous d'accord sur le fait que la fonction est convexe-concave en raison du point selle ?

3) Pour ce qui est de l'étude de l'ordre 2 en (1;0), j'ai calculé les 4 dérivées secondes possibles. Voici les résultats :

f''_{x}(1;0) = 6
f''_{y}(1;0) = -2
f''_{x/y}(1;0) = 3
f''_{y/x}(1;0) = 3

Mais je ne vois pas ce que l'on pourrait en conclure.

4) Pour le gradient, on a bien y=\frac{x}{2}

Merci à vous,

Posté par
carpediemre : Fonctions à deux variables 10-04-23 à 18:51

ça veut dire que si l'ordre 2 ne suffit pas il faut aller à l'ordre 3 (ou plus suivant la nullité des dérivées partielles successives)  pour connaitre la nature du points critiques : extremum ou point selle

sinon on peut regarder ce qui se passe quand on s'approche de (0, 0) suivant des trajectoires particulières :

EX : f(x, x) = ...
          f(x, -x) = ...

conclusion ?

Posté par
Tedsoore : Fonctions à deux variables 10-04-23 à 19:05

Ah, je n'ai pas donné lé détail des calculs, mais pour le déterminant du point (0;0), toutes les dérivées sont nulles.

f''_{x}(0;0)=0
f''_{y}(0;0)=0
f''_{y/x}(0;0)=0

Posté par
Tedsoore : Fonctions à deux variables 11-04-23 à 11:45

Bonjour,

personne ne peut m'aider svp ? J'ai juste besoin de savoir s'il s'agit d'un extremum ou non pour ce dernier cas où le déterminant de la matrice hessienne est nul, et toutes les dérivées secondes aussi.

Merci à vous,

Posté par
carpediemre : Fonctions à deux variables 11-04-23 à 18:04

carpediem @ 10-04-2023 à 18:51

ça veut dire que si l'ordre 2 ne suffit pas il faut aller à l'ordre 3 (ou plus suivant la nullité des dérivées partielles successives)  pour connaitre la nature du points critiques : extremum ou point selle

sinon on peut regarder ce qui se passe quand on s'approche de (0, 0) suivant des trajectoires particulières :

EX : f(x, x) = ...
          f(x, -x) = ...

conclusion ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonctions à deux variables 12-04-23 à 14:57

Bonjour

Pour le point (0,0):

f(x,0)=x^3

Est-ce de signe constant au voisinage de (0,0)?


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