Bonjour,

Une première intuition : prendre le problème dans le sens " f à support compact et f 0 f^ n'est pas à support compact "

A suivre...

Si f est a support compact (a,b) on ecrit que l'on a:
_ab.f(x)
C'est le produit par une fonction porte. Supposons la pour simplification centrée (donc 0 au milieu de ab). Ca ne change rien au raisonnement et ca evite les decalages. Pour (ab)=(-1/2 +1/2)
Alors la TF sera :
sin/*F()
Si F()existe le produit de convolution va exister et donc on aura une fonction globale dependant de .
Maintenant si on dit qu'elle est aussi bornée ca veut dire que l'on n'a pas des valeurs en dehors d'un intervalle. Il y n'y a pas adequation avec les deux raisonnements. Ca peut marcher si F() est nul (alors tout est nul et on peut dire que la fonction n'existe que dans un intervalle mais nulle). Enfin si on a toujours la TF f'une fonction qui est nulle alors c'est que f=0

Bonjour,

Je vous remercie pour les réponses.

LeHibou: Je ne vois pas que faire avec ça en fait. Même s'il s'agit d'une intuition pourrais tu d"évelopper pour voir ce que s'est susceptible de donner stp?

bamboum: Je n'ai pas tout saisi dans ton raisonnement. Quelle est l'utilité de la fonction porte? Ensuite tu dis que ça peut marcher si F(v) (la fourier L2 de f je suppose) est nulle, mais c'est justement ce qu'il faut montrer! (et ça nous donne le résultat sans avoir besoin de quoi que se soit d'autre genre fonction porte, non?).

De toute façon si on montre que la fourier L2 est nulle alors on a gagné par injectivité de Fourier sur L2.

Si ça peut aider, j'arrive à déduire des régularités sur cette fonction, notamment on obtien qu'elle (et sa transformée) sont ....si ça peut aider quelqu'un

Bonsoir,

Ton problème ma "turlupiné" toute la journée, en partie parce qu'il me semble avoir fait une fois cet exercice en TD en utilisant je crois des arguments simples,  mais  je n'ai pas réussi à retrouver de démonstration n'utilisant pas les fonctions holomorphes. Mais contrairement à toi, je ne trouve pas que les fonctions holomorphes et le principe des zéro isolés soit un outil trop puissant. La transformation de Fourier L2, même si ce n'est pas très difficile, n'est quand même pas quelque chose de trivial, et (je me trompe peut-etre mais je ne crois pas ) historiquement le bon cadre théorique pour l'analyse de Fourier est plus récent que le principe des zéro isolés, on peut donc utiliser sans remords, les zéro isolé, le théorème de Morera et le formule de Cauchy...

Bref je ne légitime pas mon manque d'inspiration, juste que la démonstration utilisant un chouïa d'analyse complexe me plait bien. Mais je serais quand même ravi si quelqu'un fournit une démonstration "élémentaire".

En fait, je suis plutôt de ton avis apovtegme même si je trouve le peu d'analyse complexe trop puissant. Mais je ne le trouve pas pour autant non élégant.
En fait après que nous ayons résolu le problème en classe, j'ai fait la remarque à mon prof et il m'a donné une réponse dans le genre celle que tu m'a donnée (je trouve ton argument historique plus profond quand même). Il disait que dans la mesure où l'analyse de Fourier est une analyse qui manie les complexes (dans le sens où les fonctions sont à valeurs complexes), il parait assez naturel de chercher à définir ces quantités sur C (ce qui ne pose pas de problème dans la définition évidemment).

Je ne saurais l'expliquer mais je serais tout aussi ravi que toi d'avoir une démo "élémentaire" parce qu'un sentiment complètement irrationnel me disant qu'il existe une démo "élémentaire" me ronge...Je sais pas, avoir tout un semestre où on a démontré des tas de résultats élaborés dans le cadre de l'analyse de fourier exclusivement avec des outils fourier et là un problème (apparemment simple) qui nécessite un outil d'analyse complexe pure (et pas rien en plus, les zéros isolés quand même!), ça me laisse franchement sceptique....


Pour revenir à la recherche de l'exo, essayons d'établir une plan de preuve que chacun complètera avec ses idées. L'idée est de montrer que f^ est nulle.
On sait que f et f^ sont C infini a support compact. A mon humble avis, il faut trouver des caractérisation de plus en plus précise sur f^ qui feront qu'elle ne pourra qu'être nulle (je sais j'ai pas fait avancer de beaucoup). Quelle genre de propriétés caractérise la fonction 0 (je sais il y en a des milliers, mais plus ou moins dans  ce cadre)? On pourrait montrer que f^ les possède, non?

Je reprends mon intuition :
f à support compact, genre [a;b] implique f^(t) = _a^be^-itxf(x)dx
Si f^ est également à support compact, genre [c;d], alors on a f^^(u) =_c^de^-ituf^(t)dt
Mais fL²() f^^ = f   (c'est vrai, ça ? )
donc f(u) = _c^de^-itu(_a^be^-itxf(x)dx)dt
f(u) =_c^d_a^be^-it(x+u)f(x)dxdt
Vu la compacité du domaine, on peut permuter l'ordre des intégrations    (c'est vrai, ça ?) :
f(u) =_a^b_c^de^-it(x+u)f(x)dtdx
et on peut intégrer en t, f(x) étant alors constant :
f(u) = i_a^b(1/(x+u))[e^-id(x+u)/d-e^-ic(x+u)/c]f(x)dx
Pour se simplifier les idées, on peut prendre, ce que j'aurais du faire depuis le début : a - -1, b = 1, c = -1, d = 1, et il vient :
f(u) = i_-1¹(1/(x+u))[e^-i(x+u)+e^i(x+u)]f(x)dx
f(u) = 2i_-1¹(1/(x+u))cos(x+u)f(x)dx
Si f est 0, le terme de gauche est dans et celui de droite imaginaire pur, donc une contradiction...
Voila, comme je ne suis vraiment pas sûr de moi, mais alors pas du tout, j'arrête là et j'attends les commentaires

En fait, on ne peut pas écrire arbitrairement a - -1, b = 1, c = -1, d = 1.
En revanche, quitte à agrandir les supports compacts de f et f^, on peut toujours dire que le support de f est de la forme [-a;a], et celui de f^ de la forme [-c;c], et avec ces adaptations mineures le principe de ce que j'ai posté précédemment tient toujours, pour ce que ca vaut...

Je vais essayer de disséquer ton intuition...

Citation :
Mais fL²() f^^ = f   (c'est vrai, ça ? )

--> Foxdevil, merci de ton travail nocturne - à 02h12, bien que LeHibou, animal nocturne, je dormais déjà !
Et attendons, comme tu le dis, d'autres commentaires...

Oui je venais à peine de rentrer....et comme le problème m'a occupé toute la soirée (il tournait en arrière plan dans ma tête ), je suis venu voir où s'en était....

Pour le moment, es-tu d'accord avec mes remarques?

Je suis absolument d'accord avec tes remarques, attendons de voir s'il y en a d'autres et si on peut tirer qqe chose de rigoureux de tout ça...

Ouais mais on dirait que ça a pas l'air d'inspirer grand monde....

C'est dimanche...

Je soulève le topic, histoire de faire réagir quelqu'un....

Total échec

Yep, le topic se meurt peut à peu...

Vu mon petit délire sur le sujet, c'est peut-être le mieux qui puisse lui arriver

Pourquoi tu penses que ta preuve est fausse?

J'espère que non mais c'est tellement plus une preuve de physicien qu'une preuve de matheux que je me dis qu'elle doit bien contenir une belle horreur quelque part... Et puis, si c'était aussi simple, la preuve standard n'utiliserait pas l'argument lourd cité au début !

bonjour,

désolé de ne pas être passé avant (je termine un mémoire ce qui me prend pas mal de temps). Concernant la démonstration de Lehibou, elle ne me semble pas juste. Sans s'occuper des problèmes de fubini, il me semble qu'il y a une erreur de calcul et si on ne suppose pas que les supports des fonctions sont dans [-1,1], on ne peut pas non plus simplifier les exponentielles (ou alors il faut calculer un peu ce que je n'ai pas essayé.)

De plus, même si ca ne change rien, il me semble que si la transformation de fourier est définit comme tu le fait,
, où .

De mon coté, ce que j'ai essayé (mais pas trop longtemps pour cause de mémoire). Je prend une fonction f de classe C infinie à support compact. Si le résultat est bon pour ces fonctions, par densité on doit s'en sortir. Bref avec cette fonction j'ai essayé d'utiliser le fait que la transformé de fourier de la translaté de la fonction est la transformée de fourier multipliée par une exponentielle complexe. Inutilement on se rend compte que si f est à support compact, sa transformée de fourier ne l'est pas. Mais malheureusement lorsque je me lance dans les calculs je n'aboutit pas à grand chose.

non je veux dire que j'arrive à me convaincre que ça peut marcher... moralement on peut déplacer le support de la fonction, la transformée de Fourier est alors multipliée par une fonction dont le support est R. Donc si la transformée de fourier de f est à support compact, ce support contient les supports des transformées des translaté, ce qui ne me parait pas possible.

Mais de façon rigoureuse ce que j'ai fait ne donne rien...

Sinon une chose qui doit marcher est d'utiliser la densité des fonctions étagées dans L2 mais quitte à faire ça autant faire un coup de théorème de Morera...

Effectivment, le (-1;+1) était une erreur, mais quelque soit un support compact on peut toujours l'étendre par inclusion à un support compact symétrique (-a,+a) pour la TF directe et (-c,+c) pour la TF inverse, et là ça tient. C'est plutôt la légitimité du reste qui me questionne...

Perso, j'essaie d'exhiber une équation différentielle que vérifierait f ou son chapeau. Cette équation pourrait s'obtenir grâce aux propriétés de la fonction et de ses transformées...mais rien de concluant pour le moment.

Sinon je n'arrive pas à déduire plus de régularité encore sur f et ses dérivées...peut être que ça pourrait aider?