Bonjour!

Je patine actuellement sur un exercice traitant principalement de fonctions C à support compact. Voici l'énoncé :

1) Montrer qu'il existe une fontion u C() telle que u(x)=0 si |x|1 et u(x)>0 si |x|<1. (indiquation : utiliser f(x) telle que f(x)=exp(-1/x) si x>0 et f(x)=0 si x0, en conidérant tour à tour f₂(x)=f(1-x) puis f₃(x)=f(x)*f₂(x)...)

--> pas de problèmes pour cette question, on finit par construire une dernière fonction f₄(x)=f₃(1/2*(x+1)) qui correspond.

2)si u est comme dans 1), posons v : , v(x)=_-1^xu(t)dt
Montrer que v est C, que v0 et que v(x)=0 si x-1 et v(x)=c pour x1 avec c constante strictement positive

--> pas de soucis non plus, il suffit d'imaginer le graphe

3)Soit a<b<c<d. Montrer qu'il existe une fonction plateau C, i.e. une fonction w: de classe C, w0 telle que :
w(x)=0 si xa ou xd, w(x)=1 si bxc
(indication : commencer par le cas a=-2, b=-1, c=1, d=2 et faire une construction en utilisant la fonction v de la partie 2).)


--> C'est ici que la bat blesse. J'ai fait la construction recommandée pour visualiser, j'ai crée comme dans 1) une fonction v₂(x)=v(1-x) et v₃(x)=v₂(x)*v(x)...mais ensuite je ne comprends pas comment procéder pour "ajuster" v₃(x) pour avoir la fonction désirée...


Merci aux courageux!