Niveau Maths sup

Fonctions circulaires réciproques

Posté par
Angel0812 11-09-10 à 11:24

Bonjour à vous tous,

Tout d'abord je souhaite m'excuser si je pose une question qui a déjà de multiple réponse, cependant je n'ai rien trouvé donc je poste moi même.

Voila j'ai une question dans mon DM qui reste un mystère pour moi, en effet la prof nous a donné comme indication d'utiliser le binôme de Newton mais je n'étais pas présent lors du cours sur celui ci. Ainsi je ne sais pas trop comment utiliser cette formule et de plus je n'arrive pas à avancer dans mon exo.

la question est: Montrer que les fonctions : x->cos(n(arccos(x))) et x->(sin(narccos(x)))/(racine de 1-x²) ( n entier naturel) sont polynomiales.

Voila j'espère avoir un coups de main de votre part et merci

Cordialement Angel0812

Posté par re : Fonctions circulaires réciproques 11-09-10 à 13:37

UP SVP

J'ai vraiment besoin d'aide merci

Posté par re : Fonctions circulaires réciproques 11-09-10 à 16:43

$\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$
$\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$

Démontre d'abord que $\cos(nx)$ est une fonction polynomiale de $\cos(x)$ . Le binôme de Newton peut t'aider, mais ce n'est pas indispensable. Essaie de te débrouiller sans. Mais si tu insistes, je te propose de dire que $[\cos(x)+i\,\sin(x)]^n=\cos(nx)+i\,\sin(nx)$ , de développer le membre de gauche avec la formule du binôme, de séparer les parties réelles et imaginaires et dire que $\cos(nx)$ est la partie réelle de $[\cos(x)+i\,\sin(x)]^n$

Posté par re : Fonctions circulaires réciproques 11-09-10 à 17:41

Merci pour ton aide, cependant je n'arrive pas à faire ce que tu me demandes.
En effet comme dit précédemment j'étais absent au cours sur le binôme de Newton et donc je ne sais pas trop comment l'utiliser.

De plus je n'ai aucune idée de comment montrer que cos(nx) et une fonction polynomiale de cos(x).

Ce que j'ai par contre c'est sin(ny)= Im(cos(ny)+i*sin(ny)= Im((cos(y)+i*sin(y))^n)

Peux-tu m'aider un peu plus ?
Ou si tu préfère, je dispose de msn, pour parler en direct.

Cordialement Angel0812

Posté par re : Fonctions circulaires réciproques 11-09-10 à 23:04

Posté par re : Fonctions circulaires réciproques 12-09-10 à 15:57

Formule du binôme

$\displaystyle (a+b)^n=\sum_{j=0}^n\,C_n^j\,a^j\,b^{n-j}$

$\displaystyle (\cos(x)+i\,\sin(x))^n=\sum_{j=0}^n\,C_n^j\,\cos^{n-j}(x)\,(i\,\sin(x))^{j}$

En séparant les cas j pair et j impair :

$\displaystyle (\cos(x)+i\,\sin(x))^n=\sum_{j=0\,\,j\,pair}^n\,C_n^j\,\cos^{n-j}(x)\,(i\,\sin(x))^{j}\,+\,\sum_{j=1\,\,j\,impair}^n\,C_n^j\,\cos^{n-j}(x)\,(i\,\sin(x))^{j}$

$\displaystyle (\cos(x)+i\,\sin(x))^n=\sum_{j=0\,\,j\,pair}^n\,C_n^j\,\cos^{n-j}(x)\,(-\sin^2(x))^{\frac{j}{2}}\,+\,i\,\sum_{j=1\,\,j\,impair}^n\,C_n^j\,\cos^{n-j}(x)\,(-\sin^2(x))^{\frac{j-1}{2}}$

$\displaystyle (\cos(x)+i\,\sin(x))^n=\sum_{j=0\,\,j\,pair}^n\,C_n^j\,\cos^{n-j}(x)\,(\cos^2(x)-1)^{\frac{j}{2}}\,+\,i\,\sum_{j=1\,\,j\,impair}^n\,C_n^j\,\cos^{n-j}(x)\,(-\sin^2(x))^{\frac{j-1}{2}}$

La partie réelle vaut d'une part $\cos(nx)$ et d'autre part $\displaystyle \sum_{j=0\,\,j\,pair}^n\,C_n^j\,\cos^{n-j}(x)\,(\cos^2(x)-1)^{\frac{j}{2}}$ . En posant $c=\cos(x)$ , on voir que :

$\displaystyle \cos(nx) = \sum_{j=0\,\,j\,pair}^n\,C_n^j\,c^{n-j}\,(c^2-1)^{\frac{j}{2}}$

ce qui montre bien que $\cos(nx)=P(c)$ avec $\displaystyle P(X)= \sum_{j=0\,\,j\,pair}^n\,C_n^j\,X^{n-j}\,(X^2-1)^{\frac{j}{2}}$ qui est un polynôme !