salut
je te fais la 1.
definition de la limite en +oo :

pour tout e>0 il existe A tel que pour tout x>A on a
|f(x)-h|<e ou h=lim f(x)
                x->+oo

soit e=1. il existe A tel que pour x>A |f(x)-h|<1
donc -1<f(x)-h<1
donc h-1<f(x)<h+1
donc pour x>A |f(x)|=<MAX{|h-1|,|h+1|} et ce max est dans R+. (je veux dire que ce max est fini)

sur [0,A] qui est un segment, la fonction f est continue donc bornee.
f est bornee sur [0,A] et sur [A,+oo[ elle est donc bornee sur R+.

atteint elle ses bornes ?
NON
soit f R+->R
       x -> -1/(x+3)
lim f(x)=0
x->+oo
les bornes de f sont 0 et -1/3
par contre il n'existe pas de x dans R+ tel que f(x)=0

a verifier.

Voici pour la 2 :

Supposons qu'il existe un couple (a,b) de I , avec : et . montrons alors par l'absurde que :
.

Soit donc x et y deux points de I avec . Posons :


Les fonctions g et h vérifient :
1. (en raison des inégalités et )
2. ( en effet est le segment d'extrémités a et x qui est inclus dans I , puisque I est un intervalle contenant a et x , de même pour h )

On pose alors , pour :


La fonction est continue sur [0,1] comme différence de deux fonctions , chacune composées de deux fonctions continues . On a de plus :


Il existe donc d'aprés le théorème des valeurs intermédiaires un c éventuellement égal à 1 tel que
Donc : par injectivité de f , il en résulte que ce qui contredit la propriété 1. des fonction g et h .

On en déduit par l'absurde ce que l'on cherche


Jord