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Fonctions continues à support compact et convolution

Posté par
ClayVer 10-10-17 à 15:38

Bonjour,

Je n'arrive pas à répondre à la question de l'exercice suivant :

Soit \phi : \mathbb{R}^d \longrightarrow \mathbb{R}_+ une fonction continue et bornée vérifiant \int\limits_{\mathbb{R}^d}\phi(x) \, \mathrm{d}x = 1. Pour tout \varepsilon > 0, on pose \phi_{\epsilon}(z) = \varepsilon^{-d}\phi(z / \varepsilon). Soit p \geq 1. Étant donné f \in L^p(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \mu) (où \mu est la mesure de Lebesgue sur (\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d))), on définit le produit de convolution :
\[(\phi_{\varepsilon} * f)(x) = \int_{\mathbb{R}^d}\phi_{\varepsilon}(x - y)f(y) \, \mathrm{d}y\]
Montrer que si f est continue à support compact, \phi_{\varepsilon} * f converge uniformément vers f dans \mathbb{R}^d lorsque \varepsilon tend vers 0.


Pour cela j'ai posé \varphi_n = \phi_{1/2^n} * f et je voulais montrer que la suite (\varphi_n) converge uniformément vers f. J'ai réussi à obtenir cette inégalité (après un changement de variable) :
|\varphi_n(x) - f(x)| \leq \int_{\mathbb{R}^d} |f(y) - f(x)| \cdot |\phi_{1/2^n}(x-y)| \, \mathrm{d} y
J'aimerais ensuite utiliser le fait que f soit à support compact donc uniformément continue, et que \phi est bornée, mais je n'arrive pas à quelque chose de sympathique...

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Posté par
ClayVerre : Fonctions continues à support compact et convolution 10-10-17 à 16:37

Edit : finalement j'ai réussi !


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